Pătrate și cuburi perfecte

I. Pătratul oricărui număr întreg este de forma \(8n+1\).

Probleme

1. Dacă \(a,\ b,\ c\) și \(m\) nu sunt întregi atunci \(8m+7\ne a^2+b^2+c^2\).

2.  Expresia \(2^n+3^n+4^n\) nu este pătrat perfect pentru \(n>1\) impar.

3. Dacă \(a,\ b,\ c\) nu sunt întregi și \(a^2=b^2+c^2\), atunci \(4\:|\:b\) sau \(4\:|\:c\).

Soluții

\((2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1=8m+1\)

\((2k)^2=4k^2=8m\)

1) Membrul drept este de forma \(8m+1\) sau \(8m+3\).

2) Fiindcă este de forma \(8m+3\).

3) Evident \(b\) și \(c\) nu pot fi simultan impare. Dacă sunt de parități diferite, exemplu \(b\) par, \(c\) impar, atunci \(a^2=8m+1,\ c^2=8m+1\) și deci \(8\:|\:b^2\Rightarrow 4\:|\:b\). Cazul \(b\) și \(c\) pare se reduce
la precededentul după simplificarea cu \(4\).

Probleme

Problema 1, Problema 2, Problema 3, Problema 4

II. Pătratul oricărui număr întreg este de forma \(3m\) sau \(3m+1\).

Probleme

Problema 1, Problema 2, Problema 3, Problema 4, Problema 5, Problema 6.

III. Pătratul oricărui număr întreg este de forma \(5m\) sau \(5m\pm 1\).

Probleme

Problema 1, Problema 2, Problema 3.

IV. Cubul oricărui număr întreg este de forma \(9n\) sau \(9m\pm 1\).

Probleme

Problema 1, Problema 2, Problema 3.

V. Cubul oricărui număr întreg este de forma \(7m\) sau \(7m\pm 1\).

Probleme

Problema 1, Problema 2, Problema 3.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *