Principiul invariantului II

Teorie

Acesta este un principiu aplicabil problemelor în care se dă un obiect (sau mai multe obiecte) asupra căruia se realizează în mod repetat anumite operații (transformări). Dacă doscoperim o caracteristică a obiectelor ce este invariantă (nu se schimbă în urma acestor operații) iar obiectul final al problemei nu posedă această caracteristică, atunci el nu poate fi obținut în urma operațiilor descrise.

Probleme rezolvate

Problema 1

În alfabetul limbii \(AO – AO\) sunt numai două litere: \(A\) și \(O\). Limba satisface condițiile următoare: dacă se șterg literele vecine \(AO\) sau se introduc combinațiile \(OA\) sau \(AAOO\) oriunde în cuvânt, obținem un cuvânt cu același sens. Sunt oare \(AOO\) și \(OAA\) sinonime?

Soluție

Fie \(n_A\), \(n_O\) numărul de \(A\), respectiv \(O\) dintr-un cuvânt. După orice ștergere permisă diferența dintre numărul de \(A\) și numărul de \(O\) este \(n_A-1-(n_O-1)=n_A-n_O\), iar după orice introducere permisă diferența este \(n_A+1-(n_O+1)=n_A-n_O\) sau \(n_A+2-(n_O+2)=n_A-n_O\). Deci, diferența dintre numărul de \(A\) și numărul de \(O\) este un invariant. Pentru \(AOO\) ea este \(-1\), dar pentru \(OAA\) este 1 și aceste cuvinte nu sunt sinonime.

Problema 2

Prințul Vasile are două săbii magice. Una din ele poate să taie 21 de capete ale unui dragon rău. Alta poate să taie 4 capete, iar după aceasta dragonul obține 1985 de capete noi. Poate prințul Vasile să taie toate
capetele dragonului, dacă inițial erau 100?

Soluție

Presupunem că prima sabie a fost utilizată de \(a\) ori, iar a doua de \(b\) ori. Atunci, numărul de capete va fi egal cu \(1981b-21a+100\). Cum acest număr este de forma \(7k+2\), iar la sfârșit trebuie să fie 0, prințul Vasile nu poate să taie toate capetele dragonului.

Problema 3

Pe tablă sunt scrise numerele de la 1 la 25. Petrică poate alege oricare trei numere \(a,b,c\) scrise pe tablă și să le înlocuiască cu \(a^3+b^3+c^3\). Demonstrați că ultimul număr rămas pe tablă nu poate fi \(2013^3\).

Soluție

Diferența \[a^3+b^3+c^3-(a+b+c)=\\=a(a-1)(a+1)+b(b-1)(b+1)+c(c-1)(c+1)\] este divizibilă cu 3 deoarece produsul a trei numere consecutive este divizibil cu 3. Deci, restul împărțirii la 3 al sumei numerelor de pe tablă este un invariant. Inițial, suma numerelor de pe tablă este \[1+2+\ldots +25=\displaystyle\frac{25\cdot 26}{2}=325\] care dă restul 1 la împărțirea cu 3. Deoarece \(2013^2\) dă restul 0 la împărțirea cu 3, el nu poate fi ultimul număr rămas pe tablă.

Probleme propuse

Problema 1, Problema 2, Problema 3, Problema 4, Problema 5, Problema 6, Problema 7, Problema 8, Problema 9, Problema 10, Problema 11, Problema 12.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *