C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c II – soluția problemei 8

Enunţul problemei este disponibil aici.

Numărul \(A=p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdot p_3^{x_3}\dots p_n^{x_n}\) are \((x_1+1)(x_2+1)\dots (x_n+1)\) divizori. Fiindcă \(10=2\cdot 5\) vom avea doi factori primi. Deci \(A=p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\). Cum numărul este cel mai mic alegem cele mai mici valori pentru \(p_1\) și \(p_2\) adică \(p_1=2\) și \(p_2=3\). Atunci
\[(x_1+1)(x_2+1)=2\cdot 5\Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x_1+1=2\\
x_2+1=5
\end{array}\right.
\mbox{ sau }
\left\{\begin{array}{l}
x_1+1=5\\
x_2+1=2
\end{array}\right.\]
de unde obținem
\[\left\{\begin{array}{l}
x_1=1\\
x_2=4
\end{array}\right.
\mbox{ sau }
\left\{\begin{array}{l}
x_1=4\\
x_2=1
\end{array}\right.\]

Avem astfel de comparat numerele \(2^1\cdot 3^4\) și \(2^4\cdot 3^1\) adică 162 și 48. Deci cel mai mic număr natural cu 10 divizori naturali este 48.

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *