C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c II – soluția problemei 10

Enunţul problemei este disponibil aici.

Fie \(x,y,z\) cele trei numere. Atunci
\[x+y+z=2007
\quad(1)\]
\[z=(x+y)\cdot 20+12
\quad(2)\]
\[(x,y)=19
\quad(3)\]

Din (1) avem
\[x+y=2007-z
\quad(4)\]

Din (2) și (4) obținem: \(z=(2007-z)\cdot 20+12\), adică \(z+20z=40140+12\), de unde \(z=1912\). Atunci din (4), avem că \(x+y=2007-1912\), adică \[x+y=95 \quad(5)\]

Din (3) avem că \(x=19a\) și \(y=19b\) cu \((a,b)=1\). Din (5) obținem: \(19a+19b=95\), adică \(a+b=5\), de unde \((a,b)\in\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}\).

Cazul I.
Dacă \(a=1\) și \(b=4\) obținem: \(x=19\) și \(y=19\cdot 4=76\).

Cazul II.
Dacă \(a=2\) și \(b=3\), rezultă \(x=19\cdot 2=38\) și \(y=19\cdot 3=57\).

Cazul III.
Dacă \(a=3\) și \(b=2\) obținem \(x=19\cdot 3=57\) și \(y=19\cdot 2=38\).

Cazul IV.
Dacă \(a=4\) și \(b=1\) obținem \(x=4\cdot 19=76\) și \(y=19\).

Astfel
\((x,y)\in\{(19,76),(38,57),(57,38),(76,19)\}\) și \(z=1912\).

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *