Rapoarte

Teorie

Rapoarte

Definiție

Raportul numerelor raționale \(a\) și \(b\), \(b\ne 0\) este numărul \(a:b\) și se notează \(\displaystyle\frac{a}{b}\). Numărul \(r\), \(r=\displaystyle\frac{a}{b}\) se numește valoarea raportului \(\displaystyle\frac{a}{b}\).

Raportul a două mărimi este raportul măsurilor lor exprimate cu aceeași unitate de măsură.

În practică rapoartele au numeroase aplicații în: probabilități, procente, scara unui plan, a unei hărți, etc.

Probabilitatea realizării unui eveniment

Evenimentul este un fenomen, în cadrul unei experiențe, care se poate sau nu realiza. Numai după efectuarea experienței putem spune cu certitudine că s-a realizat sau nu.

Definiție

Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul cazurilor favorabile acestui eveniment și numărul cazurilor egal-posibile.

Probabilitatea realizării unui eveniment este mai mare sau egală cu zero și mai mică sau egală cu 1, adică dacă \(A\) este evenimentul \(0\le P(A)\le 1\).

Probabilitatea evenimentului imposibil este 0, iar a evenimentului sigur este 1.

Probleme rezolvate

Problema 1

a) Să se calculeze \(\displaystyle\frac{x}{y}\) știind că \(\displaystyle\frac{5x-11y}{20x+4y}=0,1(6)\).

b) Dacă \(a,b\in \mathbb{N}\) astfel încât \(\displaystyle\frac{5a+b}{2a}=\displaystyle\frac{3a+10b}{4b}\), atunci \(\displaystyle\frac{a^2}{b^2}\) este egal cu:

a) \(3\);
b) \(\displaystyle\frac{2}{3}\);
c) \(\displaystyle\frac{3}{2}\);
d) \(1\).

Soluție

a) Din \(\displaystyle\frac{5x-11y}{20x+4y}=\displaystyle\frac{16-1}{90}\) obținem
\[\displaystyle\frac{5x-11y}{20x+4y}=\displaystyle\frac{1}{6}\Leftrightarrow
6(5x-11y)=20x+4y\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
30x-66y=20x+4y\Leftrightarrow
10x=70y\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{x}{y}=7.\]

b) Din \(\displaystyle\frac{5a+b}{2a}=\displaystyle\frac{3a+10b}{4b}\) obținem:
\[4b(5a+b)=2a(3a+10b)\Leftrightarrow
20ab+4b^2=6a^2+20ab\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
4b^2=6a^2\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{a^2}{b^2}=\displaystyle\frac{4}{6}\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{a^2}{b^2}=\displaystyle\frac{2}{3}\]
(deci punctul b)).

Problema 2

Numerele \(a,b,c,d\) satisfac relația: \(\displaystyle\frac{21a+12b-14c-8d}{18a-15b-12c+10d}=\displaystyle\frac{2}{3}.\) Calculați valoarea raportului \(\displaystyle\frac{3a-2c}{2d-3b}\).

Soluție.

Fie \(x=3a-2c\) și \(y=2d-3b\). Relația dată se mai scrie:
\[\displaystyle\frac{21a+12b-14c-8d}{18a-15b-12c+10d}=\displaystyle\frac{2}{3}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{7(3a-2c)-4(2d-3b)}{6(3a-2c)+5(2d-3b)}=\displaystyle\frac{2}{3}\Leftrightarrow\]
\[\displaystyle\frac{7x-4y}{6x+5y}=\displaystyle\frac{2}{3}\Leftrightarrow
3(7x-4y)=2(6x+5y)\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
21x-12y=12x+10y\Leftrightarrow\]
\[21x-12x=12y+10y\Leftrightarrow
9x=22y\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{x}{y}=\displaystyle\frac{22}{9}.\]
Deci \(\displaystyle\frac{3a-2c}{2d-3b}=\displaystyle\frac{22}{9}\).

Problema 3

Numerele \(x,y,z,t\) verifică relația: \(\displaystyle\frac{7x+10y+7z+10t}{3x-2y+3z-2t}=6.\) Să se calculeze valoarea raportului \(\displaystyle\frac{x+z}{y+t}\).

Soluție

Notăm \(x+z=a\) și \(y+t=b\). Atunci obținem:
\[\displaystyle\frac{7(x+z)+10(y+t)}{3(x+z)-2(y+t)}=\displaystyle\frac{6}{1}\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{7a+10b}{3a-2b}=\displaystyle\frac{6}{1}\Leftrightarrow\]
\[7a+10b=6(3a-2b)\Leftrightarrow
7a+10b=18a-12b\Leftrightarrow\]
\[10b+12b=18a-7a\Leftrightarrow
22b=11a\Leftrightarrow a=2b\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{a}{b}=2\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{x+z}{y+t}=2.\]

Problema 4

Într-o urnă sunt 26 bile numerotate \(1,2,3,\dots ,26\). Care este probabilitatea ca extrăgând o bilă la întâmplare numărul scris pe ea să fie:

a) par;
b) impar;
c) o putere a lui 2;
d) o putere a lui 3;
e) un pătrat perfect;
f) un cub perfect;
g) să se termine cu 0;
h) un număr prim.

Soluție

a) Cazuri favorabile: \(2,4,6,\dots ,26\), adică 13 cazuri, iar posibile 26. Atunci \(P=\displaystyle\frac{13}{26}=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

b) Fiindcă sunt 13 numere fără soț, cazuri favorabile avem 13 și cazuri posibile 26. Atunci
\[P=\displaystyle\frac{13}{26}=\displaystyle\frac{1}{2}.\]

c) Cazuri favorabile sunt numerele: \(1,2,8,16\), adică 4 cazuri favorabile.
Deci \(P=\displaystyle\frac{4}{26}=\displaystyle\frac{2}{13}.\)

d) Puterile lui 3 până la 26 sunt: \(1,3,9\), deci \(P=\displaystyle\frac{3}{26}.\)

e) Pătratele perfecte până la 26 sunt: \(1,4,9,25\) deci cinci.
Atunci \(P=\displaystyle\frac{5}{26}.\)

f) Cuburi perfecte până la 26 sunt 1 și 8. Deci \(P=\displaystyle\frac{2}{26}=\displaystyle\frac{1}{13}.\)

g) Se termină cu 0 numerele 10 și 20. Deci \(P=\displaystyle\frac{2}{26}=\displaystyle\frac{1}{13}.\)

h) Numere prime până la 26 sunt: \(2,3,5,7,11,13,17,19,23\) deci 9 cazuri favorabile. Atunci \(P=\displaystyle\frac{9}{26}.\)

Problema 5

Să se calculeze probabilitatea ca din mulțimea numerelor de trei cifre luând la întâmplare un număr să conțină de două ori cifra \(7\).

Soluție

Numerele care conțin de două ori cifra 7 sunt de forma:
\(\overline{x77}\), \(\overline{7y7}\), \(\overline{77a}\) cu \(x,y,a\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), \(x\ne 0\).

De forma \(\overline{x77}\) avem opt numere: 177, 277, 377, 477, 577, 677, 877, 977 deci 8 numere:

Numere de forma \(\overline{7y7}\) avem 9: 707, 717, 727, 737, 747, 757, 767, 787, 797.

Numere de forma \(\overline{77a}\) avem 9: 770, 771, 772, 773, 774, 775, 776, 778, 779.

Atunci probabilitatea este
\[\displaystyle\frac{8+9+9}{900}=\displaystyle\frac{26}{900}=0,028\]
deoarece de la 100 la 999 sunt \((999-100)+1\) numere adică 900 numere.

Probleme propuse

Problema 1, Problema 2, Problema 3, Problema 4, Problema 5, Problema 6, Problema 7, Problema 8, Problema 9, Problema 10, Problema 11.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *