Aspecte privind problemele de concurență

Teorie

În cele ce urmează, ne propunem să prezentăm un inventar de procedee practice de verificare a concurenței a trei drepte \(a\), \(b\) și \(c\), de regulă, incidente fiecare câte unuia dintre vârfurile triunghiului.

Cele mai frecvente metode de abordare a unei probleme în care se solicită demonstrarea concurenței a trei drepte \(a\), \(b\) și \(c\) sunt următoarele:

(1) Dacă \(\{P\}=a\cap b\), \(Q\in c\), \(R\in c\), \(Q\ne R\), atunci \(a, b, c\) sunt drepte concurente, dacă și numai dacă \(P,Q,R\) sunt coliniare.

Observație

Se deduce de aici că o problemă de concurență se reduce la duala sa, o problemă de coliniaritate, și reciproc.

(2) Dacă \(\{P\}=a\cap b\) și \(\{Q\}=a\cap c\), atunci \(a, b, c\) sunt drepte concurente, dacă și numai dacă \(P=Q\).

În condițiile de la (2), identitatea \(P=Q\) poate fi consecința relației \(\displaystyle\frac{PA}{PB}=\displaystyle\frac{QA}{QB}\), unde \(A,B\in a\), \(A\ne B\), iar \(P,Q\in (AB)\) sau \(P,Q\in a-(AB)\).

(3) Utilizarea unor rezultate remarcabile de geometrie euclidiană plană:

(3.1) Teorema de concurență a înălțimilor unui triunghi, teorema de concurență a bisectoarelor interioare ale unghiurilor unui triunghi, teorema de concurență a medianelor unui triunghi, teorema de concurență a mediatoarelor laturilor unui triunghi etc.

(3.2) Reciproca teoremei lui Giovani Ceva (1647-1734).

(3.3) Reciproca teoremei lui G\’erard Desargues (1591-1661).

(3.4) Reciproca teoremei lui Lazare Carnot (1753-1823).

(4) Identificarea punctului de concurență cu izogonalul (inversul) unui punct al triunghiului sau cu izotomicul (conjugatul) unui punct al triunghiului.

(5) Un alt criteriu se referă la aria triunghiului \(PQR\) format de trei ceviene \(AA’\), \(BB’\) și \(CC’\) ale tiunghiului \(ABC\), \(A’\in (BC)\), \(B’\in (AC)\), \(C’\in (AB)\). Este evident că \(AA’\), \(BB’\) și \(CC’\) sunt concurente, dacă și numai dacă \({\mathcal A}[PQR]=0\), adică \(P=Q=R\).

Teorema lui Ceva (1678)

Fie triunghiul \(ABC\) și punctele \(A’\in BC\), \(B’\in AC\), \(C’\in AB\), astfel ca \(\overline{A’B}=\alpha \cdot \overline{A’C}\), \(\overline{B’C}=\beta \cdot \overline{B’A}\) și \(\overline{C’A}=\gamma \cdot \overline{C’B}\). Atunci \(a=AA’\), \(b=BB’\) și \(c=CC’\) sunt concurente, dacă și numai dacă \(\alpha \beta \gamma =-1\).

De remarcat faptul că relația din ipoteză exclude orice situație \(A’\in \{B,C\}\), \(B’\in \{A,C\}\) și \(C’\in \{A,B\}\). Acest rezultat are și formă trigonometrică, precum și formă cu segmente neorientate. Demonstrația se obține rapid prin metoda falsei ipoteze.

Relația din teoremă se scrie și
\[\displaystyle\frac{\overline{A’B}}{\overline{A’C}}\cdot \displaystyle\frac{\overline{B’C}}{\overline{B’A}}\cdot \displaystyle\frac{\overline{C’A}}{\overline{C’B}}=-1.\]

Reciproca teoremei lui Desargues

Fie triunghiurile \(ABC\) și \(A’B’C’\) astfel ca \(BC\cap B’C’=\{A_1\}\), \(AC\cap A’C’=\{B_1\}\) și \(AB\cap A’B’=\{C_1\}\), iar \(A_1,B_1,C_1\) sunt puncte coliniare. Dacă dreptele \(AA_1\) și \(BB_1\) nu sunt paralele, atunci dreptele \(AA_1\), \(BB_1\) și \(CC_1\) au un punct comun.

Triunghiurile \(ABC\) și \(A’B’C’\) din enunțul precedent se numesc triunghiuri omologice cu \(AA_1\cap BB_1\cap CC_1\) centrul de omologie și dreapta \(A_1-B_1-C_1\) axa de omologie (cu sensul că \(B_1\in (A_1C_1)\)).

Pentru demonstrație, se aplică teorema directă Desargues pentru triunghiurile omologice \(A_1BB’\) și \(B_1AA’\). Dacă \(AA’\cap BB’=\{O\}\), \(C_1\) este centru de omologie pentru \(\triangle B_1AA’\), deoarece \(\{C_1\}=AB\cap A_1B_1\cap B’A’\). Urmează că \(BB’\cap AA’\), \(A_1B\cap B_1A\) și \(A_1B’\cap A’B_1\) sunt puncte coliniare, adică \(C’\), \(C\) și \(O\) sunt pe o dreaptă. Acum, dacă \(AA’\| BB’\), utilizând demonstrația de mai sus, se deduce că \(AA’\| CC’\).
Așadar, în condițiile reciprocei teoremei lui Desargues, este posibil ca punctul de concurență să fie și punctul de la infinit.

Teorema următoare se datorează francezului Lazare Carnot (1753-1823).

Reciproca teoremei lui Carnot

Fie triunghiul \(ABC\) și punctele \(A’\in BC\), \(B’\in AC\), \(C’\in AB\).
Dacă
\[A’B^2-A’C^2+B’A^2-B’C^2+C’A^2-C’B^2=0,\]
atunci perpendicularele în \(A’\), în \(B’\) și în \(C’\) pe dreptele \(BC\), \(AC\) și \(AB\), respectiv, sunt trei drepte concurente.

Pentru demonstrație se consideră teorema dată pentru \(b\perp AC\), \(b\ni AB’\), \(c\perp AB\), \(c\ni C’\) și \(a’=PA”\), unde \(b\cap c=\{P\}\), \(pr_{BC}P=A”\). Cu relația din teorema directă Carnot, se deduce că
\[A”B^2-A”C^2=A’B^2-A’C^2.\]
Din ultima relație, se deduce (eventual, analitic, luând \(x_B=0\) și \(x_C=1\)) că \(A’=A”\).

Următorul rezultat este datorat matematicianului francez Eric W. de Longchamps (1842-1906).

Teorema lui de Longchamps

Trei ceviene ale unui triunghi concurente în punctul \(P\), au izogonalul trei ceviene concurente în punctul \(P’\). Punctele \(P\) și \(P’\), sunt numite puncte izogonale (reciproce).

În triunghiul \(ABC\), \(AA’\) și \(AA”\), unde \(A’,A”\in BC\) sunt izogonale relativ la vârful \(A\), dacă \(\angle BAA’\equiv \angle CAA’\).
În acest context, se demonstrează că
\[\displaystyle\frac{\overline{A’B}}{\overline{A’C}}\cdot \displaystyle\frac{\overline{A”B}}{\overline{A”C}}=\displaystyle\frac{AB^2}{AC^2},\]
teorema lui Jakob Steiner (1796-1863), matematician elvețian.

Utilizând teorema lui Steiner și reciproca teoremei lui Ceva, se deduce criteriul lui de Longchamps.

Teorema lui Neuberg (1886)

Trei ceviene concurente într-un punct \(P\) ale unui triunghi au izotomicele trei drepte concurente într-un punct \(P’\). Punctele \(P\) și \(P’\) sunt puncte izotomice (reciproce).

Fie \(\triangle ABC\) și \(A’,A”\in BC\). Cevienele \(AA’\) și \(AA”\) sunt izotomice dacă \(A’\) și \(A”\) sunt simetrice față de mijloacele segmentului \([BC]\). În acest context, este clar că
\[\displaystyle\frac{\overline{A’B}}{\overline{A’C}}=\displaystyle\frac{\overline{A”C}}{\overline{A”B}}\]
și reciproca teoremei lui Ceva asigură demonstrația teoremei lui Joseph Jean Baptiste Neuberg (1840-1926).

Particularizări:

Intersecția medianelor unui triunghi este centrul de greutate (centroidul) triunghiului, notat \(G\).

Bisectoarele interioare ale unghiurilor unui triunghi sunt concurente în punctul \(I\), centrul cercului înscris triunghiului.

Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente în centrul cercului circumscris triunghiului, notat de regulă \(O\).

Dreptele suport ale înălțimilor unui triunghi sunt concurente în ortocentrul triunghiului, notat \(H\).

Cercurile exînscrise unui triunghi au centrele la intersecția a câte trei suporturi de bisectoare. Centele se notează prin \(I_a\), \(I_b\) și \(I_c\).
\(I_a\) este intersecția bisectoarei interioare a unghiului cu vârful \(A\) și a suporturilor bisectoarelor exterioare cu vârfurile în \(B\) și în \(\Gamma \).

C. Joseph Diez Gergonne (1771-1859) a arătat că cevienele determinate de vârfurile unui triunghi și punctele de tangență ale cercului înscris triunghiului sunt concurente în punctul lui J. Gergonne, notat \(\Gamma \).

Christian Heinrich Von Nagel (1803-1882) a demonstrat că cevienele determinate de vârfurile triunghiului și intersecțiile celor trei cercuri exînscrise triunghiului cu laturile sale sunt, de asemenea, concurente în punctul \(N\), numit punctul lui Nagel.

Pentru un punct de concurență remarcabil într-un triunghi, și izogonalul său are proprietăți importante.

De exemplu, izogonalul centrului de greutate este intersecția simedianelor triunghiului și a fost pus în evidență de matematicianul francez Emile Michel Hyacinthe Lemoine (1840-1912).

De regulă, punctul se notează \(L\) și este o temă frecventă în preocupările geometrilor chiar și în zilele noastre.

Se observă că izogonalul centrului circumscris unui triunghi este ortocentrul triunghiului. Altfel spus, \(O\) și \(H\) sunt puncte izogone.

Totodată, se verifică că punctul lui Gergone, \(\Gamma \) și punctul \(N\) al lui Nagel sunt puncte izotomice.

Probleme rezolvate:

Problema 1

Fie \(P\) un punct în interiorul triunghiului \(ABC\) și paralelogramele \(APCB’\), \(BPCA’\) și \(BPAC’\). Să se justifice concurența dreptelor \(AA’\), \(BB’\) și \(CC’\).

(Radu Gologan)

Soluție

Spre deosebire de soluția dată la concurs, vom da o soluție bazată pe reciproca teoremei Ceva.

Fie \(AA’\cap BC=\{A_1\}\), \(AP\cap AC=\{B_1\}\), \(AP\cap AB=\{C_1\}\)
și punctele definite analog.
Atunci
\[\displaystyle\frac{A_1B}{A_1C}=\displaystyle\frac{{\mathcal A}[ABA’]}{{\mathcal A}[ACA’]}
=\displaystyle\frac{AB\cdot CP\cdot \sin(\angle ABA’)}{AC\cdot BP\cdot \sin(\angle ACA’)}
=\\=\displaystyle\frac{AB\cdot CP\cdot \sin(\angle BAB’)}{AC\cdot BP\cdot \sin(\angle CAC’)}.\]
Cu alte două relații analoage, concurența se verifică ușor.

Problema admite și o soluție mai simplă:

\(BCB’C’\) este paralelogram, de unde \(BB’\cap CC’=\{M\}\), \(MB’=MB\), \(MC’=MC\). Analog, \([AA’]\) și \([BB’]\) se înjumătățesc.

Rezultatul problemei precedente a fost utilizat de autorul problemei următoare într-o aplicație frumoasă.

Problema 2

Fie triunghiul \(ABC\), \(A’\in BC\), \(B’\in AC\) și \(C’\in AB\) contactele cercurilor exînscrise triunghiului \(ABC\). Dacă \(H_1,H_2,H_3\) sunt ortocentrele triunghiurilor \(AB’C’\), \(BA’C’\) și, respectiv \(CA’B’\), să se demonstreze că \(H_1A’\), \(H_2B’\) și \(H_3C’\) sunt drepte concurente.

(Constantin Cocea)

Soluție

Dacă \(B’\) se proiectează pe \(AB\) în \(N\) și \(C’\) se proiectează pe \(AC\) în \(M\), atunci \(OB’NC’\) este paralelogram, unde \(O\) este intersecția celor trei perpendiculare în \(A’\) pe \(BC\), în \(B’\) pe \(AC\), în \(C’\) pe \(AB\) (cu reciproca teoremei Desargues).

Problema 3

Dacă \(I_a,I_b,I_c\) sunt centrele cercurilor exînscrise triunghiului \(ABC\), atunci perpendiculara din \(I_a\) pe \(BC\), perpendiculara din \(I_b\) pe \(AC\) și perpendiculara din \(I_c\) pe \(AB\) sunt trei drepte concurente, punctul de concurență fiind numit punctul lui Bevan, după numele inginerului englez Benjamin Bevan (1804).
Dacă \(a\ni I_a\), \(a\perp BC\) și \(b\ni I_b\), \(b\perp AC\), atunci \(a\cap b=\{W\}\) și se deduce ușor că \(\angle WI_aI_b\equiv \angle WI_bI_a\), din \(C\in I_aI_b\) și \(\angle (BC,I_aI_b)\equiv \angle (AC,I_aI_b)\). Atunci, analog, \(WI_a=WI_b=WI_c\), adică \(W\) este centrul cercului circumscris triunghiului \(I_aI_bI_c\).

Problema 4

Fie triunghiul \(ABC\) și punctele \(A’\in BC\), \(B’\in AC\), \(C’\in AB\), \(A”\in B’C’\), \(B”\in A’C’\) și \(C”\in A’B’\). Se consideră condițiile ca următoarele triplete de drepte \((AA’,BB’,CC’)\), \((AA”,BB”,CC”)\) și \((A’A”,B’B”,C’C”)\) să fie concurente. Să se demonstreze că dacă dreptele din două triplete sunt câte trei concurente, atunci și a treia tripletă conține trei drepte concurente.

(Dan Brânzei)

Soluție

Dacă \((AA”\cap BC=\{A”’\})\) și analoagele, fie \(\{P\}=CC’\cap AA”\).
Cu teorema lui Menelaus, se deduc
\[\displaystyle\frac{\overline{A”’C}}{\overline{A”’B}}\cdot \displaystyle\frac{\overline{AB}}{\overline{AC”}}\cdot \displaystyle\frac{\overline{BC”}}{\overline{PC}}=1,\
\displaystyle\frac{\overline{PC’}}{\overline{PC”}}\cdot \displaystyle\frac{\overline{AC}}{\overline{AB’}}\cdot \displaystyle\frac{\overline{A”B’}}{\overline{A”C”}}=1,\]
de unde
\[\displaystyle\frac{\overline{A”’C}}{\overline{A”’B}}=\displaystyle\frac{\overline{AC’}}{\overline{AB}}\cdot \displaystyle\frac{\overline{AC}}{\overline{AB’}}
\cdot \displaystyle\frac{\overline{A”B’}}{\overline{A”C’}}\]
și analoagele.

Problema 5

Fie \(b\) dreapta suport a bisectoarei exterioare a unghiului cu vârful \(B\) din triunghiul \(ABC\), \(AB\ne CB\). Dacă \(A\) și \(C\) se proiectează pe \(b\) în \(P\) și \(Q\), \(CP\cap AB=\{M\}\), iar \(AQ\cap BC=\{N\}\), să se demonstreze că \(MN\), \(AC\) și \(b\) sunt drepte concurente.

Soluție

Se consideră triunghiurile omologice \(MPA\) și \(NQC\). În cazul particular \(PA\|QC\), \(AM\cap CN=\{B\}\) și \(PM\cap QN=\{R\}\). Atunci \(AB\ne CB\), \(PQ\cap AC=\{O\}\) și \(MN\ni O\), \(O\) fiind centrul de omologie (din teorema lui Desargues).

Problema 6

Fie triunghiul \(ABC\), \(\angle B>\angle C\), \(D\in (BC)\) piciorul bisectoarei interioare a unghiului \(\angle BAC\) și \(E\in (DB)\) piciorul bisectoarei exterioare aferentă vârfului \(A\). \(P\) este un punct variabil astfel încât \(A\in (EP)\), \(DP\cap AC=\{M\}\), \(EM\cap AD=\{Q\}\). Să se demonstreze că \(PQ\) trece printr-un punct fix.

Soluție

Cu teorema lui Menelaus pentru \(\triangle PED\) și transversala \(A-M-C\), deducem
\[\displaystyle\frac{\overline{AP}}{\overline{AE}}\cdot \displaystyle\frac{\overline{CE}}{\overline{CD}}\cdot \displaystyle\frac{\overline{MD}}{\overline{MP}}=1.\]
Apoi, din teorema bisectoarei,
\[\displaystyle\frac{EC}{EB}=\displaystyle\frac{DC}{DB}
\mbox{ sau }
\displaystyle\frac{EC}{CD}=\displaystyle\frac{EB}{DB}.\]
Din
\(\displaystyle\frac{\overline{AP}}{\overline{AE}}\cdot \displaystyle\frac{\overline{CE}}{\overline{CD}}\cdot \displaystyle\frac{\overline{MD}}{\overline{MP}}=1\),
conform reciprocei teoremei Ceva, rezultă
\[PB\cap DA\cap EM=\{Q’\}
\mbox{ sau }
EM\cap DA=\{Q\}.\]
Astfel \(Q=Q’\) și \(PQ\) conține punctul \(B\).

Problema 7

Se dă rombul \(ABCD\) și punctul \(M\in (BC)\). Perpendicularele din \(M\) pe \(BD\) și pe \(AC\) intersectează \(AD\), respectiv în \(P\) și \(Q\). Dacă \(MA\), \(EP\) și \(CQ\) sunt drepte concurente, să se determine raportul \(\displaystyle\frac{MB}{MC}\).

Soluție

Dacă \(\{R\}=QM\cap PB\) și \(\{S\}=PM\cap QC\), condiția precizată în enunț echivalează cu
\[\displaystyle\frac{\overline{AP}}{\overline{AQ}}\cdot \displaystyle\frac{\overline{RQ}}{\overline{RM}}\cdot \displaystyle\frac{\overline{BM}}{\overline{SP}}=1\]
sau cu
\[\displaystyle\frac{MC}{MB+MC}\cdot \displaystyle\frac{MB+MC+BC}{MB}
\cdot \displaystyle\frac{MC}{MB+MC+BC}=1,\]
adică
\[MB^2=MC^2+BC\cdot MC.\]

Din ultima relație deducem condiția \(BC=MC\) sau faptul că raportul este \(\displaystyle\frac{1}{2}\).

Observație

Rezultatul are loc în condiții mai generale: \(ABCD\) paralelogram, \(MP\|AC\), \(MQ\|BD\).

Problema 8

Teorema ortopolului
Fie triunghiul \(ABC\) și \(D, E, F\) proiecțiile ortogonale ale vârfurilor \(A\), \(B\) și \(C\), respectiv pe dreapta \(d\). Dacă \(A’\) este proiecția punctului \(D\) pe \(BC\), \(B’\) este proiecția punctului \(E\) pe \(AC\) și \(C’\) proiecția punctului \(F\) pe \(AB\), atunci dreptele \(DA’\), \(EB’\) și \(FC’\) sunt concurente.

Demonstrație

Se utilizează reciproca teoremei Carnot. Cu teorema lui Pitagora,
\begin{align*}
A’B^2-A’C^2
& =BD^2-A’D^2-A’C^2\\
& =BE^2+ED^2-A’D^2-(CD^2-A’D^2)\\
& =BE^2+ED^2-A’D^2-(CF^2+DF^2-A’D^2)\\
& =BE^2-CF^2+ED^2-DF^2
\end{align*}
și alte două relații analoage. Cele trei relații dau concluzia
\[A’B^2-A’C^2+B’C^2-B’A^2+C’A^2-C’B^2=0.\]

Problema 9

Un rezultat foarte util în tematica studiată este teorema matematicianului german Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851).

Fie triunghiul \(ABC\) și punctele \( A’, B’, C’\) din planul său astfel încât
\(\angle A’BC\equiv \angle C’BA\), \(\angle B’CA\equiv \angle A’CB\) și \(\angle C’AB\equiv \angle B’AC\). Atunci dreptele \(AA’\), \(BB’\) și \(CC’\) sunt concurente într-un punct \(J\), numit punctului lui Jacobi.

Pentru demonstrație, să observăm că \((AC’\) și \((AB’\) sunt semidrepte izogonale corespunzătoare unghiului \(\angle BAC\). Fie cazul \(AA’\cap [BC]=\{A_1\}\) și \(BC\cap (AA’)=\emptyset \).
Dacă \(\alpha =m(\angle B’AB)\), \(\beta =m(\angle A’BC)\), \(\gamma =m(\angle B’CA)\), atunci
\[\displaystyle\frac{A_1B}{A_1C}=\displaystyle\frac{{\mathcal A}[ABA’]}{{\mathcal A}[ACA’]}
=\displaystyle\frac{AB\cdot A’B\cdot \sin(B+\beta )}{AC\cdot A’C\cdot \sin(C+\gamma )}.\]
Se determină analog punctele \(B_1\in AC\) și \(C_1\in AB\) și, cu reciproca teoremei lui Ceva, deducem că \(AA_1\), \(BB_1\) și \(CC_1\) sunt concurente.

De observat că punctul \(J\) poate fi și în exteriorul triunghiului \(ABC\).

Un prim caz particular al punctului Jacobi, îl constituie punctului lui Pierre Fermat (1601-1665).

În exteriorul triunghiului \(ABC \)se construiesc triunghiurile echilaterale \(A’BC\), \(B’ AC\) și \(C’ AB\). Atunci dreptele \(AA’\), \(BB’\) și \(CC’\) se intersectează în \(F\), punctului lui Fermat.
Evident, perechile de semidrepte \(([AB’,[AC’)\), \(([BA’,[BC’)\) și \(([CA’,[CB’)\) sunt izogonale pentru unghiurile triunghiului \(ABC\).

O consecință a acestui rezultat o constituie problema găsirii unui punct \(P\) din interiorul unui triunghi cu toate unghiurile de măsură mai mici ca \(120^\circ\), astfel ca suma \(PA+PB+PC\) să fie minimă. Acest punct a fost cercetat și de Evangelista Torricelli (1608-1647).

Dacă \(P\in Int(\triangle ABC)\) și triunghiul \(BPC\) se rotește cu \(60^\circ\) în jurul lui \(B\), atunci
\[PA+PB+PC=PC+PP’+P’C’.\]
Atunci suma este minimă, dacă și numai dacă \(P\in CC’\). Astfel punctul lui Toricelli coincide cu punctul lui Fermat.

Dacă în exteriorul triunghiului \(ABC\) se construiesc trei triunghiuri echilaterale cu centrele \(B\), \(E\) și \(F\), atunci dreptele \(AD\), \(BE\) și \(CF\) sunt drepte concurente într-un punct \(N\), numit punctului lui Napoleon, după chiar celebrul împărat al Franței și rege al Italiei, Napoleon Bonaparte (1769-1821).

Triunghiul echilateral cu centrul \(D\) are latura \(BC\), cel cu centrul \(E\) are latura \(AC\) și cel cu centrul \(F\) are latura \(AB\). Deci și punctul lui Napoleon este tot un punct Jacobi (tot un centru izogon). Totodată, triunghiul \(DEF\) este și el echilateral, după cum se deduce prin calculul unei singure lungimi \(DE\). Totodată, dacă în exteriorul triunghiului \(ABC\) se construiesc pătrate cu centrele \(D\), \(E\) și \(F\) atunci dreptele \(AD\), \(BE\) și \(CF\) sunt, de asemenea, tot drepte concurente în punctul \(V\), numit punctului lui Vecten, fiind pus în evidență de profesorul francez de liceu M. Vecten (1812).

Un alt punct tip de punct Jacobi este punctul lui F. Morley. În 1899, profesorul Frank Morley (1860-1937) a arătat că trisectoarele unghiurilor unui triunghi \(ABC\) determină un triunghi echilateral \(A’B’C’\), iar \(AA’\), \(BB’\) și \(CC’\) sunt concurente într-un centru izogon. Notațiile satisfac \[m(\angle A’CB)=\displaystyle\frac{B}{3}
\mbox{ și } m(\angle A’CB)=\displaystyle\frac{C}{3}.\]

Un alt rezultat care se tratează în aceeași manieră metodologică:

Fie triunghiul \(ABC\), \(O\) centrul cercului circumscris triunghiului, \(OA\), \(OB\) și \(OC\), respectiv, centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor \(OBC\), \(OAC\) și \(OAB\), respectiv.
Atunci dreptele \(AO_A\), \(BO_B\) și \(CO_C\) sunt concurente în punctul \(K_1\), numit punctul lui Kosnita.

După unii matematicieni, acest rezultat a apărut pentru prima dată în Gazeta Matematică publicată la București, iar matematicianul pe nume Kosnita ar fi un profesor român. După alții, Kosnita este matematician bulgar sau, conform altor păreri, japonez.
A se vedea, spre exemplu, [1] și [2].

Pentru demonstrație, se consideră \(A’=AO_A\cap BC\) și punctele \(B’\), \(C’\) definite analog. Cu notațiile uzuale, din \(m(\angle BOC)=2A\), unde \(A=m(\angle BAC)\) și analoagele, se deduce că
\[m(\angle BO_AC)=360^\circ-4A.\]
Astfel,
\[m(\angle CBO_A)=m(\angle BCO_A)=\displaystyle\frac{180^\circ-360^\circ+4A}{2}=2A-90^\circ.\]
Apoi
\begin{align*}
\sin(\angle ABO_A)
& =\sin(B+2A-90^\circ)=\sin(180^\circ-C+A-90^\circ)\\
& =\sin(90^\circ-C+A)=\cos(A-C).
\end{align*}
Analog,
\begin{align*}
\sin(\angle ACO_A)
& =\sin(C+2A-90^\circ)=\sin(180^\circ-B+A-90^\circ)\\
& =\sin(90^\circ-B+A)=\cos(A-B).
\end{align*}
Atunci
\[\displaystyle\frac{A’B}{A’C}=\displaystyle\frac{{\mathcal A}[ABO_A]}{{\mathcal A}[ACO_A]}
=\displaystyle\frac{AB\cdot BO_A\cdot \sin(\angle ABO_A)}{AC\cdot CO_A\cdot \sin(\angle ACO_A)}
=\displaystyle\frac{c\cdot \cos(A-C)}{b\cdot \cos(A-B)}.\]
Analog,
\[\displaystyle\frac{B’C}{B’A}=\displaystyle\frac{a\cdot \cos(B-A)}{c\cdot \cos(B-C)}
\mbox{ și }
\displaystyle\frac{C’A}{C’B}=\displaystyle\frac{b\cdot \cos(C-B)}{a\cdot \cos(C-A)}\]
și concurența este evidentă, conform reciprocei teoremei lui Ceva.

Așa numita metodă areolară utilizată în cele două demonstrații poate fi utilizată cu succes și în alte situații. Spre exemplu, cititorul poate aborda problema C.O:5089, autor Dan Nedeianu, [3].

Există și un punct Kosnita dual:

Dacă \(I\) este centrul cercului înscris în triunghiul \(ABC\), \(I_A\), \(I_B\) și \(I_C\) sunt centrele cercurilor înscrise triunghiului \(IBC\), \(IAC\) și, respectiv, \(IAB\).
Atunci dreptele \(AI_A\), \(BI_B\) și \(CI_C\) sunt concurente într-un punct \(K_2\), numit punctul lui Kosnita dual.

Se poate observa ușor că și \(K_2\) este un punct Jacobi, fiind un centru izogon.

Propunem cititorului să studieze concurența a trei ceviene dintr-un triunghi în situațiile următoare:

Fie triunghiul \(ABC\) și \(I\) centrul cercului înscris în triunghiul \(ABC\).
Dacă \(O_A\), \(O_B\) și \(O_C\) sunt centrele cercurilor circumscrise triunghiului \(BCO_A\), \(ACO_B\) și, respectiv, \(ABO_C\), să se stabilească dacă dreptele \(AO_A\), \(BO_B\) și \(CO_C\) sunt concurente.

Fie triunghiul ascuțitunghic \(ABC\), \(O\) centrul cercului circumscris triunghiului și \(I_A\), \(I_B\), \(I_C\) centrele cercurilor înscrise în triunghiurile \(OBC\), \(OAC\) și, respectiv, \(OAB\). Să se decidă dacă dreptele \(AI_A\), \(BI_B\) și \(CI_C\) sunt concurente.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *