Concurență

Teorie

Drepte concurente

Două sau mai multe drepte sunt concurente dacă au un punct comun.

Să reținem că:

Două drepte situate în același plan, dacă nu sunt paralele atunci sunt concurente.

Pentru a demonstra concurența a trei drepte identificăm un punct prin care trec cele trei drepte.
Acesta poate fi:

Un punct fix (spre exemplu mijlocul unui segment)

Centrul de greutate al triunghiului (ca intersecție de linii care se dovedesc a fi mediane)

Ortocentrul triunghiului (ca intersecție de linii care se dovedesc a fi înălțimi)

Centrul cercului circumscris triunghiului (ca intersecție de linii care se dovedesc a fi mediatoare)

Centrul cercului înscris în triunghi (ca intersecție de linii care se dovedesc a fi bisectoare).

De altfel, o problemă de concurență a dreptelor se poate “comuta” (poate fi reformulată) pe o problemă de coliniaritate.

\(BD\cap CE=\{Q\}\)

Concurența dreptelor \(AM\), \(BD\) și \(CE\) este echivalentă cu coliniaritatea punctelor \(A, Q\) și \(M\).

Concurențele “clasice”, adică concurențele liniilor importante în triunghi sunt cunoscute.
Să le reamintim:

Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente.
Punctul de concurență este egal depărtat de laturile triunghiului.

\((AD\subset \angle BAC\) cu \(D\in (BC)\);
\((BE\subset Int(\angle ABC)\) cu \(E\in (AC)\) și
\((CF\subset Int(\angle ACB)\) cu \(F\in (AB)\).

Fiecare bisectoare a unghiului unui triunghi intersectează latura opusă unghiului repectiv.

Unghiurile \(\angle BAC\) și \(\angle ACB\) au suma măsurilor mai mică de \(180^\circ\). Bisectoarele lor sunt concurente.

Fie \(\{I\}=AD\cap CF\). Folosim proprietatea punctelor bisectoarei și pentru \(I\in (AI)\) avem \(d(I,AB)=d(I,AC)\), iar pentru \(I\in (CF\) avem
\(d(I,CA)=d(I,CE)\). Prin urmare obținem (prin tranzitivitate) că \(d(I,AB)=d(I,CB)\) ceea ce ne dă că \(I\in (BE\).

Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente.
Punctul de concurență este egal depărtat de vârfurile triunghiului.

Mediatoarele laturilor (de exemplu \([DC]\) și \([AC]\)) sunt concurente. În caz contrar ar fi paralele. și cum latura \([BC]\) este perpendiculară pe mediatoarea ei, iar latura \([AC]\) de asemenea, atunci am avea din punctul \(C\) două perpendiculare distincte pe aceeași direcție, ceea ce este absurd. Prin urmare cele două mediatoare sunt concurente în \(O\). Astfel avem că \(d(O,E)=d(O,C)\) și \(d(O,C)-d(O,A)\). Prin urmare avem și \(d(O,E)=d(O,A)\), adică \(O\) aparține și mediatoarei laturii \([AB]\).

Înălțimile unui triunghi sunt concurente.

Se duc paralele la laturile triunghiului, prin vârfurile triunghiului. Se formează astfel paralelogramele \(ABCB’\), \(ACBC’\), \(ACA’B\). \(AD\perp BC\), iar \(BC\|C’B’\) conduce la \(AD\perp C’B’\). și cum \(AB’=AC'(=BC)\), înseamnă că înălțimea \(AD\) din triunghiul \(ABC\), devine mediatoarea laturii \([C’B’]\) din triunghiul \(A’C’B’\). Analog inălțimile \(BE\) și \(CF\) sunt mediatoare pentru laturile \([C’A’]\) și respectiv \([A’B’\) din același triunghi \(A’C’B’\). Deoarece mediatoarele sunt concurente (vezi demonstrația anterioară) avem astfel și concurența înălțimilor.

În orice triunghi, medianele sunt concurente.
Pe oricare dintre mediane distanța de la vârf la punctul de concurență este dublul distanței de la punctul de concurență la mijlocul laturii opuse.

\(M, D\) și \(E\) sunt mijloacele laturilor \([BC]\), \([AC]\) și respectiv \([AB]\). \(M\in (BC)\Rightarrow M\in Int(\angle BAC)\), iar \(E\in (AB)\Rightarrow E\in Int(\angle BCA)\). Cum \(m(\angle ABC)+m(\angle BCD)<180^\circ\) există \(\{G\}=AM\cap CE\). Fie \(A’\) mijlocul segmentului \([AG]\), \(B’\) mijlocul segmentului \([BG]\) iar \(C’\) mijlocul segmentului \([CG]\). \([RA’]\) devine astfel linie mijlocie în \(\triangle ABG\) iar \([MC’]\) linie mijlocie în \(\triangle BCG\). \([RA’]\) și \([MG’]\) sunt paralele cu \([BG]\) și au lungimea jumătate din lungimea acestui segment. Obținem paralelogramul \(MC’A’E\) la care diagonalele se înjumătățesc, adică avem \(GM=GA’\) și \(GE=GC’\). Având în vedere faptul că \(A’\) și \(C’\) sunt mijloacele segmentelor \([AG]\) și respectiv \([CG]\) avem de fapt următoarele egalități: \(GM=GA’=A’A\) și \(GE=GC’=CC’\).
Analog pentru alte două mediane și cumulând concluziile finale, avem punctul \(G\) ca și punct de concurență al medianelor, punct care pe fiecare mediană determină raportul precizat în enunț.

În problemele de concurență, rolul rezolvitorului (adeseori) este de a identifica în configurații geometrice linii care sunt înălțimi, mediatoare sau bisectoare într-un anumit triunghi. Problemele solicită demonstrarea coliniarității sau concurenței, sau pot avea alte cerințe în care coliniaritatea unor puncte sau concurența anumitor drepte sunt instrumente utile în obținerea concluziilor dorite.

De asemenea în timp apar și alte strategii care ne ajută să demonstrăm concurența, un exemplu în acest sens fiind reciproca teoremei lui Ceva.

Probleme rezolvate

Problema 1

Prin mijlocul \(M\) al laturii \([AC]\) a triunghiului \(ABC\) se duce paralela la latura \([AB]\), iar prin vârful \(B\), paralela la latura \([AC]\), notându-se cu \(D\) intersecția acestora și cu \(E\) intersecția dreptelor \(AD\) și \(BC\). Să se demonstreze că dreptele \(AB\), \(ME\) și \(CD\) sunt concurente.

Soluție

\(AB\|MD\) și \(MD\cap CD=\{D\}\), deci \(CD\cap AB\ne \emptyset \). Fie \(Q\) acest punct de intersecție. Deoarece \(AB\|MD\) cu \(M\) mijlocul lui \([AC]\) conduce la \([MD]\) linie mijlocie în \(\triangle AQC\), deci \(D\) este mijlocul lui \([CQ]\). Apoi \(BD\|AC\) cu \(D\) mijlocul lui \([QC]\) conduce de asemenea la \([BD]\) linie mijlocie în \(\triangle AQC\). Înseamnă că \([AD]\) și \([CB]\) sunt mediane ale triunghiului \(AQC\), iar \(E\) este centrul de greutate al acestui triunghi. Deducem de aici că \([MQ]\) (cu \(E\in [MQ]\)) este a treia mediană a triunghiului.

Problema 2

În \(\triangle ABC\), punctul \(D\) este mijlocul liniei frânte \(ABC\), \(E\) este mijlocul liniei frânte \(ACB\) iar \(F\) este mijlocul liniei frânte \(BAC\). Prin punctele \(D, E\) și \(F\) se duc paralelele \(b\), \(c\) și \(a\) la bisectoarele unghiurilor \(\angle B\), \(\angle C\) și respectiv \(\angle A\). Demonstrați că dreptele \(a, b\) și \(c\) sunt concurente.

Soluție

Să urmărim informația de mijloc al liniei frânte. Pentru \(F\) (de exemplu) mijlocul liniei frânte \(BAC\). Considerăm punctul \(C”\) pe semidreapta opusă semidreptei \([AB\) astfel încât \(AC”=AC\). Acum \(F\) devine mijlocul lui \([BC”]\). \([AQ]\) fiind bisectoarea unghiului \(\angle BAC\), avem \(m(\angle BAQ)=m(\angle QAC)\). Dacă \(AC”=AC\) atunci \(\triangle ACC”\) este isoscel și \(m(\angle ACC”)=m(\angle AC”C)\). \(\angle BAC\) este unghi exterior pentru \(\triangle ACC”\) și astfel obținem \(m(\angle BAQ)=m(\angle AC”C)\) (ceea ce conduce la \(AQ\|CC”\). Pe de altă parte \(FA’\|AQ\). Deci \(FA’\|CC”\). Dar \(F\) este mijlocul lui \([BC”]\) și atunci \([FA’]\) este linie mijlocie în \(\triangle BCC”\). Luăm acum punctele \(B’\) și \(C’\) mijloacele laturilor \([AC]\) respectiv \([AB]\). \(m(\angle C’A’F)=m(\angle I’AQ)\) (unghiuri cu laturi paralele, ambele ascuțite) și de asemenea \(m(\angle FA’B’)=m(\angle I’AQ)\). Cu acestea deducem că \(A’F\) este bisectoarea unghiului \(\angle B’A’C’\), adică \(a\) este bisectoarea unghiului din \(\angle B’A’C’\) din \(\triangle A’B’C’\). Analog dreapta \(b\) este bisectoarea unghiului \(\angle A’B’C’\) din \(\triangle B’A’C’\) iar dreapta \(c\) este bisectoarea unghiului \(\angle A’C’B’\) din \(\triangle A’B’C’\). Dar bisectoarele triunghiului \(A’B’C’\) sunt concurente. Astfel obținem concluzia dorită

Probleme propuse

Problema 1, Problema 2, Problema 3, Problema 4, Problema 5, Problema 6, Problema 7, Problema 8, Problema 9, Problema 10, Problema 11.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *