Principiul invarianților – soluția problemei 27

Enunţul problemei este disponibil aici.

Căutăm relații între numerele dintr-un triplet, sau relații între tripletele care se transformă. Având fracții, verificăm și produsul numerelor din triplet.

\((x,y,z)\) are \(P=xyz\),

\(\left(5x,6y,\displaystyle\frac{1}{3}z\right)\) are
\(P_1=5x\cdot 6y\cdot \displaystyle\frac{1}{3}z=10xyz=10P\), iar

\(\left(8x,\displaystyle\frac{5y}{6},\displaystyle\frac{3z}{2}\right)\) are
\(P_1=8x\cdot \displaystyle\frac{5y}{6}\cdot \displaystyle\frac{3z}{2}=10xyz=10P\)\\
și avem invariantul: tripletul \(X\) se transformă într-un triplet la care produsul numerelor este de 10 ori mai mare decât produsul numerelor din \(X\). Calculăm și
\[P=\displaystyle\frac{2}{9}\cdot \displaystyle\frac{7}{6}\cdot \displaystyle\frac{3}{5}=\displaystyle\frac{7}{45}
\quad\mbox{și}\\
P_1=\displaystyle\frac{5}{3}\cdot \displaystyle\frac{7}{9}\cdot \displaystyle\frac{6}{21}=\displaystyle\frac{10}{27}\ne 10\cdot \displaystyle\frac{7}{45}=\displaystyle\frac{14}{9}.\]

În concluzie nu se poate realiza transformarea.

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Principiul invarianților – soluția problemei 26

Enunţul problemei este disponibil aici.

Prin oricare dintre transformări, fiecare coordonată își schimbă paritatea. Dar dacă urmărim suma coordonatelor, observăm că \(x_0+y_0\) are aceeași paritate cu oricare din sumele \(x_0+y_0-6\), \(x_0+y_0-2\), \(x_0+y_0+2\). Deoarece la punctul \(M\) avem \(2 + 2 = 4\), iar la punctul \(P\) avem \(2016 + 2017 = 4033\) nu putem ajunge din \(M\) în \(P\) prin deplasările indicate.

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Principiul invarianților – soluția problemei 25

Enunţul problemei este disponibil aici.

Dacă operăm asupra unui număr \(N\), înlocuindu-l cu \(s(N)\), apoi la fel pe \(s(N)\) cu \(s(s(N))\) până rămâne un număr de o cifră, atunci știm că această cifră \((c_N)\) verifică relația
\[N\pmod 9\equiv s(N)\pmod 9\equiv s(s(N))\pmod 9\equiv\\\equiv \ldots \equiv c_N\pmod 9.\]
Între cele 1018 numere sunt câte 113 de \(M_0\), \(M_0+2\), \(M_0+3,\ldots \), \(M_0+8\) și respectiv 114 \(M_9+1\). Prin urmare vom avea mai multe cifre de 1.

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Principiul invarianților – soluția problemei 24

Enunţul problemei este disponibil aici.

Observăm că numărul de plecare este un \(M_0\). Prin urmare și suma cifrelor sale este tot un \(M_0\). Chiar dacă operăm prin permutarea cifrelor sau prin înmulțire cu 3, noile valori obținute sunt multipli de 9 (numerele și sumele cifrelor acestor numere). Dintre variante doar 1242 și 1583 satisfac această condiție. Dacă le verificăm, 1242 nu conduce (mergând invers în lanțul de operații, cu verificare pentru fiecare permutare de cifre lafiecare pas) la numărul 18, ci doar 1593:
\[1593\to 531\to 135\to 45\to 54\to 18.\]

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Principiul invarianților – soluția problemei 23

Enunţul problemei este disponibil aici.

Avem \(S=1+2+3+\ldots +99=(99\cdot 100):2=99\cdot 50\) cu \(S=M_{11}\). Urmărim cum acționează transformarea descrisă.
Suma se scrie
\[S=a+b+(S-a-b)\]
unde \(a\) și \(b\) sunt cele două numere pe care operăm.
După primul pas, obținem:
\[S=r+(S-a-b)
\quad(1)\]
unde \(r\) este restul împărțirii lui \(a + b\) la 11 adică un număr natural mai mic decât 11 \((a\mid b-11k\mid r)\). Dacă urmărim relația (1) observăm că aceasta devine
\[S=r+(S-a-b)=(a+b)-11k+S-(a+b)=S-11k=M_{11}.\]
Am obținut invariantul: suma numerelor de pe tablă este mereu un multiplu de 11. Acum putem analiza finalul transformărilor. Avem două numere, din care unul este 85. Evident acesta este unul dintre numerele scrise inițial pe tablă. Celălalt va fi un \(r<1\) astfel încât \((85+r)\equiv 0\pmod {11}\). Deci al doilea număr este 3.

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Principiul invarianților – soluția problemei 22

Enunţul problemei este disponibil aici.

Analizăm cele trei numere cu care operează personajele și tripletul dat \((292,407,466)\). Modificările fiind făcute prin adunări, urmărim paritate la numere, paritate la sume, medie aritmetică (eventual medie aritmetică ponderată).
Observăm că
\(8=\displaystyle\frac{2}{3(5+7)}\) la fel ca și \(466=\displaystyle\frac{2}{8(292+407)}\).
Verificăm.
Avem tripletul de numere \((x,y,z)\) care se modifică la un pas astfel
\((x+a_1y+b_1z+c)\) cu
\[c=\displaystyle\frac{2}{3(a+b)}\Leftrightarrow 3c=2a+2b
\quad(*)\]

După \(n\) pași va fi \((x+na_1y+nb_1z+nc)\).
Deoarece avem
\[z+nc=\displaystyle\frac{2}{3}(x+na+y+nb)\Leftrightarrow
3z+3nc=2x+2na+2y+2nb\]
și având în vedere relația \((*)\) obținem \(3z=2x+2y\) adică \(z=\displaystyle\frac{2}{3(x+y)}\). Astfel știm ce stare inițială căutăm: un triplet \((x,y,z)\) la care \(z=\displaystyle\frac{2}{3(x+y)}\). Din cele 4 variante corespunde tripletul \((7,8,10)\).

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Principiul invarianților – soluția problemei 21

Enunţul problemei este disponibil aici.

Urmărim ce se întâmplă după câteva salturi, respectând regulile gâzei. Avem succesiunea numerică:
\[7 – 8 – 10 – 1 – 2 – 4 – 6 – 8 – 10 – 1 – 2 – 4 – 6 – 8 \mbox{ etc.}\]
Observăm că după saltul 7 \((7 = 1+6)\), după saltul 13 \((13 = 1+2\cdot 6)\), după saltul 19 \((19 = 1+3\cdot 6)\), ș.a.m.d., gâza se află pe 8.
Prin urmare după \(2011 =1+335\cdot 6\) salturi va fi iar pe 8, după care mai face 5 salturi și ajunge pe 6.

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Principiul invarianților – soluția problemei 20

Enunţul problemei este disponibil aici.

Ultima cifră a lui 2016 este 6. Cel care poate să asigure apariția periodică a unui număr cu ultima cifră 6, își asigură victoria. Începe Marcel și astfel el poate șterge pe 108, și să scrie 116 (a adunat 8). Indiferent ce număr \(x\in \{1,2,\ldots ,9\}\) adună Andrei la acest număr scris, el nu poate obține un număr care se termină tot în 6. După care Marcel va aduna \(10 – x\) și va avea un număr cu ultima cifră 6. Deci Marcel câștigă.

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Principiul invarianților – soluția problemei 19

Enunţul problemei este disponibil aici.

Observăm că la ultima linie variantele au aceeași ultimă cifră. Înseamnă că ultima cifră a sumei numerelor din această ultimă linie nu depinde de variant aleasă. Ea este 0. Deducem că suma numerelor de pe oricare linie, coloană sau diagonală va avea ultima cifră 0. Pe a doua linie variantele numerice care conduc la o sumă multiplu de 10, sunt doar: 12, 10 și 8. Astfel avem și suma de reper 30. Deci în linia a treia se va păstra 11, 6 și 13.
Mai rămâne prima linie, la care optăm pentru: 7, 14 și 9. Apoi verificăm coloanele și diagonalele. Pătratul magic va fi:

\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline
7 & 14 & 9\\ \hline
12 & 10 & 8\\ \hline
11 & 6 & 13\\ \hline
\end{array}\]

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Principiul invarianților – soluția problemei 18

Enunţul problemei este disponibil aici.

Fie \(A=\overline{a_1a_2\ldots a_n}\) și \(B=\overline{b_1b_2\ldots b_n}\) cu
\[\{a_1,a_2,\ldots ,a_n\}=\{b_1,b_1,\ldots ,b_n\}
\mbox{ și }
A+B=10^n.\]

Deducem că \(a_n+b_n=10\) și \(a_{n-1}+b_{n-1}=\ldots =a_2+b_2=a_1+b_1=9\). De asemenea o cifră care apare în \(A\), indiferent de câte ori, va apărea și în \(B\) de același număr de ori.

(a) Pentru \(n = 3\) căutăm \(a_2+b_2=10\) și \(a_2+b_2=a_1+b_1=9\).
Putem lua (de exemplu) \(a_1=b_2=3\), \(a_1=b_2=7\) și \(a_2=b_1=2\),
adică avem numerele: \(A=725\), \(B=275\) cu \(A+B=1000=10^3\).

(b) Deoarece \(a_n+b_n=10\) și \(a_{n-1}+b_{n-1}=\ldots =a_2+b_2=a_1+b_1=9\) atunci
\[a_1+a_2+\ldots +a_n+b_1+b_2+\ldots +b_n=\\=2(a_1+a_2+\ldots +a_n)=(n-1)\cdot 9+10\]
și de aici deducem că \(n-1\) este număr par și implicit \(n\) este număr impar.

(c) Deoarece avem perechi de cifre cu suma 9 și numărul de apariții al unei astfel de cifre în \(A\), este egal cu numărul de apariții din \(B\), pentru realizarea sumei \(10^n\) avem nevoie și de cifra 5 \((a_n=b_n=5)\). În caz contrar (se demonstrează prin reducere la absurd) nu vom putea realiza condițiile precizate în enunț.

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!