C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c II – soluția problemei 7

Enunţul problemei este disponibil aici.

Avem:
\[8n^2+6n+1=8n^2+2n+4n+1=2n(4n+1)+(4n+1)=\\=(4n+1)(2n+1)
\mbox{ și} 4n^2+5n+1=4n^2+4n+n+1=\\=4n(n+1)+(n+1)=(n+1)(4n+1).\]

Fie \(d=(a^{8n^2+6n+1}-1,a^{4n^2+5n+1}+1)\Rightarrow\)
\[a^{8n^2+6n+1}-1=a^{(4n+1)(2n+1)}-1=d\cdot k
\quad(1)\]
iar
\[a^{4n^2+5n+1}+1=a^{(4n+1)(n+1)}+1=d\cdot p,\\ \mbox{ cu } k,p\in \mathbb{N}^* \mbox{ și } (k,p)=1.
\quad(2)\]

Din (1) rezultă
\[a^{(4n+1)(2n+1)}=d\cdot k+1\Rightarrow a^{(4n+1)(2n+1)(n+1)}=\\=d\cdot l+1,\quad l\in \mathbb{N}.
\quad(3)\]

Din (2) rezultă
\[a^{(4n+1)(n+1)}=d\cdot p-1\Rightarrow
a^{(4n+1)(n+1)(2n+1)}=\\=d\cdot q-1,\quad q\in \mathbb{N}
\quad(4)\]

Din (3) și (4) \(\Rightarrow d\cdot l+1=d\cdot q-1\), de unde \(\Rightarrow dq-dl=2\Rightarrow d(q-l)=2\Rightarrow d|2\).

i) Dacă \(a\) este par \(\Rightarrow d=1\).

ii) Dacă \(a\) este impar \(\Rightarrow d=2\).

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c II – soluția problemei 6

Enunţul problemei este disponibil aici.

Numărul termenilor este: \((n+1003)-n+1=1004\). Toți termenii sumei sunt de forma: \((x,2x+3)\) unde \(x\in\{n,n+1,\dots ,n+1003\}\). Dacă \(d=(x,2x+3)\) atunci din \(d|x\) și \(d|2x+3\) obținem că \(d|2x+3-2x\) adică \(d|3\Rightarrow d\in \{1,3\}\).

1) Dacă \(n\) este multiplu de 3 atunci \(d=3\) și suma este:
\[S=\underbrace{(3+1+1)+(3+1+1)+\dots +(3+1+1)}_{334}+3+1
=\\=334\cdot (3+1+1)+3+1=1674.\]

2) Dacă \(n\) este de forma \(M_3+1\) atunci \(d=1\) și
\[S=(1+1+3)+(1+1+3)+\dots +(1+1+3)+1+1
=\\=334\cdot (1+1+3)+2=334\cdot 5+2=1672.\]

3) Dacă \(n=M_3+2\) atunci \(d=1\) și
\[S=(1+3+1)+(1+3+1)+\dots +(1+3+1)+1+3=\\=334\cdot 5+4=1674.\]

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c II – soluția problemei 5

Enunţul problemei este disponibil aici.

Fie \(x=(n+1,2n+5)\). Din \(x|2n+5\) și \(x|n+1\), deducem că \(x|2n+5-2(n+1)\) adică \(x|3\), deci
\[x\in\{1,3\}
\quad(1)\]

Dacă \(y=(n+2,2n+7)\Rightarrow y|n+2\) și \(y|2n+7\Rightarrow y|2n+7-2(n+2)\Rightarrow y|3\Rightarrow\)
\[y\in\{1,3\}
\quad(2)\]

Dacă \(z=(n+1002,2n+2007)\Rightarrow z|n+1002\) și \(z|2n+2007\Rightarrow z|2n+2007-2(n+1002)\Rightarrow z|3\Rightarrow\)
\[z\in\{1,3\}
\quad(3)\]

Din (1), (2), (3) \(\Rightarrow x,y,z\in\{1,3\}\).

Numerele \(n+1,n+2,n+1002\) dau resturi diferite la împărțirea cu 3, rezultă că exact unul din ele se divide cu 3. Atunci unul din numerele \(x,y,z\) este 3, celelalte fiind 1. \(S=3+1+1=5\).

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c II – soluția problemei 4

Enunţul problemei este disponibil aici.

Avem relația:
\[a\cdot b=(a,b)\cdot [a,b]\Rightarrow [a,b]=\displaystyle\frac{a\cdot b}{(a,b)}.\]

Din \(d=(a,b)\Rightarrow a=d\cdot l\) și \(b=d\cdot k\), \((k,l)=1\), \(k,l\in \mathbb{N}^*\). Atunci relația de demonstrat se mai scrie:
\[4\cdot \displaystyle\frac{a\cdot b}{(a,b)}+3\cdot (a,b)\ge 4a+3b\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{4\cdot dl\cdot dk}{d}+3d\ge 4dl+3dk\Leftrightarrow\]
\[4\cdot dl\cdot k+3d\ge 4dl+3dk\Leftrightarrow
4dlk-4dl+3d-3dk\ge 0\Leftrightarrow\]
\[4dl(k-1)-3d(k-1)\ge 0\Rightarrow (k-1)(4dl-3d)\ge 0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
(k-1)\cdot d(4l-3)\ge 0\]
adevărată deoarece \(k,l\in \mathbb{N}^*\).

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c II – soluția problemei 3

Enunţul problemei este disponibil aici.

Avem relația:
\[a\cdot b=[a,b]\cdot (a,b)\Rightarrow [a,b]=\displaystyle\frac{a\cdot b}{(a,b)}.\]

Din \(d=(a,b)\Rightarrow a=d\cdot k\) și \(b=d\cdot l\) cu \((k,l)=1\), \(k,l\in \mathbb{N}^*\). Inegalitatea de demonstrat devine:
\[\displaystyle\frac{a\cdot b}{(a,b)}+(a,b)\ge a+b\Rightarrow \displaystyle\frac{dk\cdot dl}{d}+d\ge dk+dl
\mbox{ sau}\]
\[kl\cdot d+d\ge dk+dl\Rightarrow kl+1\ge k+l\Rightarrow kl-k-l+1\ge 0\Rightarrow\]
\[k(l-1)-(l-1)\ge 0\Rightarrow (l-1)(k-1)\ge 0\]
adevărată deoarece \(k,l\in \mathbb{N}\).

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c II – soluția problemei 2

Enunţul problemei este disponibil aici.

Cel mai mic divizor propriu al unui număr natural este un număr prim.
Avem \(m_1\cdot m_2\cdot m_3\in\{a^3,a^2b,abc\}\), unde \(a,b,c\) sunt prime. \(D_{a^3}\in\{a^3,a^2,a,1\}\) și sunt 4 divizori, iar \(D_{a^2b}\in\{a^2b,ab,b,a^2,a,1\}\) și sunt în număr de 6, iar \(D_{abc}\in\{abc,ab,ac,bc,a,b,c,1\}\) și sunt în număr de 8 divizori. Astfel problema este soluționată.

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c II – soluția problemei 1

Enunţul problemei este disponibil aici.

Cu teorema împărțirii cu rest avem:
\[n=32\cdot c_1+28
\quad(1)\]
\[n=24c_2+20
\quad(2)\]
\[n=20c_3+16
\quad(3)\]

Din (1), (2), (3) obținem:
\[n+4=32c_1+32
\quad(4)\]
\[n+4=24c_2+24
\quad(5)\]
\[n+4=20c_3+20
\quad(6)\]

Relațiile (4), (5), (6) se mai scriu:
\[n+4=32(c_1+1)
\quad(7)\]
\[(n+4)=24(c_2+1)
\quad(8)\]
\[n+4=20(c_3+1)
\quad(9)\]

Din (7), (8), (9) avem că
\[n+4=[32,24,20]\cdot k=480\cdot k\mbox{ cu } k\in\{1,2,3,4\}.\]

Pentru \(k=1\Rightarrow n+4=480\Rightarrow n=476\).

Pentru \(k=2\Rightarrow n+4=480\cdot 2=960\Rightarrow n=956\).

Pentru \(k=3\Rightarrow n+4=480\cdot 3=1440\Rightarrow n=1436\).

Pentru \(k=4\Rightarrow n+4=480\cdot 4=1920\Rightarrow n=1916\).

Deci \(n\in\{476,956,1436,1916\}\).

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c II – problema 11

Votul nostru:

Să se găsească numerele naturale de forma \(\overline{ab}\) scrise în baza zece, pentru care \((\overline{ab},\overline{ba})=a+b\) unde notația \((\overline{ab},\overline{ba})\) reprezintă cel mai mare divizor comun al numerelor \(\overline{ab}\) și \(\overline{ba}\).

Votul tău:

Soluţia problemei este disponibilă aici.

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c II – problema 10

Votul nostru:

Suma a trei numere naturale este \(2007\). Împărțind al treilea număr la suma primelor două se obține câtul \(20\) și restul \(12\). Dacă cel mai mare divizor comun al primelor două numere este \(19\), să se determine cele trei numere.

(Ecaterina Botan)

Votul tău:

Soluţia problemei este disponibilă aici.

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c II – problema 9

Votul nostru:

Se dau numerele: \(x=9^{2m+1}+1\) și \(y=39^{2p+1}\), unde \(m\) și \(p\) sunt numere naturale. Arătați că \(x\) și \(y\) au cel puțin doi divizori comuni diferiți de \(1\).

Votul tău:

Soluţia problemei este disponibilă aici.

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!