Probleme rezolvate
Problema 1
Fie unghiul \(AOB\) cu \(m(\angle AOB) = 120^\circ\). Pe bisectoarea interioară a unghiului \(AOB\) se ia punctul \(C\). Arătați că, dacă \(OC = OA + OB\), atunci triunghiul \(ABC\) este echilateral.
Soluție
Problema este echivalentă cu reciproca unei teoreme cunoscute în geometria plană sub numele de “Van Schoulen” și al cărei enunț este următorul: “Dacă \(M\) este un punct pe arcul mic \(BC\) al cercului circumscris triunghiului echilateral \(ABC\), atunci \(MA+MB = MC\)“.
Ideea soluționării problemei constă în punerea în evidență, în mod natural, pe segmentul \(OC\) a punctului \(D\) care are proprietatea că \(OD = OB\). Astfel , va rezulta că și \(DC = OA\). Faptul că \((OC\) este bisectoarea unui unghi cu măsura de \(120^\circ\) ne conduce la concluzia că triunghiul isoscel \(BOD\) este chiar echilateral. Acum, comparând triunghiurile \(BAC\) și \(BOA\), constatăm că sunt congruente (L.U.L.) și, prin urmare, triunghiul \(ABC\) este isoscel. Nu mai rămâne de arătat decăt că \(m(\angle ABC) = 60^\circ\), satisfacție pe care o las cititorului.
Problema 2
Arătați că într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de \(15^\circ\), lungimea înălțimii duse din vârful unghiului drept este egală cu 1/4 din lungimea ipotenuzei.
Soluție
Acest rezultat este deja intrat în “folclor” și, de multe ori, se utilizează ca lemă în rezolvarea altor probleme. Este chiar motivul care m-a determinat să o supun atenției cititorului. Ideea rezolvării trebuie să ne vină tocmai răspunzând la întrebarea “De ce tocmai un unghi de \(15^\circ\), adică jumătatea unghiului de \(30^\circ\)”. Despre cel din urmă parcă știm ceva mai mult. Putem folosi ce știm în rezolvarea problemei? Să considerăm triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\) și având \(m(\angle BCA) = 90^\circ\). Dacă ducem mediana \(AM\), apare triunghiul isoscel \(AMC\) iar unghiul \(AMB\) este exterior lui și, prin urmare, va avea exact \(30^\circ\). Hai să trasăm acum înălțimea corespunzătoare ipotenuzei triunghiului nostru \(ABC\), \(AD\). Surpriză! Triunghiul \(ADM\) este de aur, așa că \(AM = 2\cdot AD\) și, cum \(BC = 2\cdot AM\) e gata!
Problema 3
În triunghiul \(ABC\), \(m(\angle A) = 90^\circ\) și \(m(\angle C) = 30^\circ\). Arătați că lungimea bisectoarei unghiului \(C\) este dublul lungimii bisectoarei unghiului \(A\).
Soluție
Iată o problemă scurtă și care ne dă o proprietate interesantă a triunghiului de aur. Evident, există metode de calcul pentru lungimile celor două bisectoare; probabil, unii dintre cititori le cunosc și chiar le aplică. Triunghiul de aur este însă prea frumos și nu merită să-l tratăm cu instrumente atât de prozaice.
Bisectoarea \(CM\) a unghiului \(C\), \(M\in AB\), îl împarte pe acesta în unghiuri de câte \(15^\circ\), iar triunghiul \(AMC\) este dreptunghic. Aha!
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei \(MC\) a acestui triunghi este un sfert din bisectoarea unghiului \(C\). Dacă ducem din \(A\) perpendiculara \(AT\) pe bisectoarea unghiului \(C\), \(T \in BC\), apare triunghiul \(ACT\) care este isoscel \((AC = CT)\). Atunci, segmentul \(AT\) are lungimea egală cu jumătate din cea a bisectoarei unghiului \(C\). Mai rămâne acum de arătat că triunghiul \(ATP\) este isoscel cu \(AT = AP\). Vă sugerez să calculați măsurile unghiurilor triunghiului \(ATP\). Frumos, nu?
Problema 4
În triunghiul \(ABC\), \(m(\angle A) < 90^\circ\), mediana \([BM]\), \(M \in (AC)\) și înălțimea \([CN]\), \(N\in (AB)\) au aceeași lungime. Dacă \(BM \cap CN = \{Q\}\), să se arate că \(BQ = 2 \cdot QN\).
Soluție
Interesant! Înseamnă că e suficient să arătăm că triunghiul dreptunghic \(BQN\) este de aur.
Cum folosim faptul că \(M\) este mijlocul segmentului \(AC\)? Gândul ne duce la o anume linie mijlocie. Alegând mijlocul segmentului \(AN\), în triunghiul \(ANC\), \([PM]\) este linie mijlocie. Atunci \(PM = 1/2\cdot CN =1/2\cdot BM\). Pe de altă parte, dreptele \(PM\) și \(CN\) sunt paralele, deci triunghiul \(BMP\) este dreptunghic de aur având \(m(\angle PBM) =30^\circ\). Astfel, am obținut ce am vrut.
Problema 5
În triunghiul \(ABC\) avem \(m(\angle BAC) = 90^\circ\), \(AD \perp BC\), \(D \in (BC)\), \(E\) este intersecția dintre dreapta \(AD\) și bisectoarea unghiului \(ABC\), iar \(F\) este intersecția dintre dreapta \(BC\) și bisectoarea unghiului \(DAC\). Să se arate că \(EF \| AC\).
Soluție
Să analizăm puțin concluzia. Paralelismul dreptelor \(EF\) și \(AC\) este echivalent cu \(EF \perp AB\), adică, în triunghiul \(ABF\), \(E\) trebuie să fie ortocentru. Deci problema este rezolvată dacă arătăm că \(EF \perp AB\). Cum \(m(\angle ABD) = m(\angle DAC)\), rezultă că \(m(\angle ABE) = m(\angle CAF)\), ceea ce este de ajuns pentru noi.
Problema 6
În triunghiul dreptunghic \(ABC\), \(m(\angle A) = 90^\circ\), \([AD]\) este înălțime și \([AE]\) este mediană. Perpendiculara din \(B\) pe dreapta \(AE\) intersectează paralela prin \(C\) la dreapta \(AE\) în \(N\). Să se arate că \(CN = 2 \cdot ED\).
Soluție
Pe măsură ce construiți figura, fiți atenți la detalii! Priviți! Nu-i așa că triunghiul \(BNC\) este dreptunghic cu ipotenuza \([BC]\)? Atunci \(NE = EC = AE =1/2\cdot BC\), deci triunghiul \(NEC\) este isoscel. Concluzia cere să arătăm că lungimea segmentului \(DE\) este jumătate din cea a segmentului \(NC\). Este natural să considerăm acum mijlocul \(Q\) al segmentului \(NC\). Triunghiul \(EQC\) este dreptunghic și congruent cu triunghiul \(ADE\) (I.U.). Atunci \(QC =DE\) și rezultă concluzia.
Problema 7
Fie \(P\) mijlocul medianei \([AM]\) a triunghiului \(ABC\). Dacă \(BP\cap AC = \{Q\}\), să se arate că \(AC = 3\cdot AQ\).
Soluție
Problema este cunoscută și poate fi utilizată ca lemă în rezolvarea altora. Deci rezultatul merită să fie reținut.
Cele două mijloace de segmente existente nu se “leagă” între ele dar ne sugerează alegerea convenabilă a mijlocului unui alt segment. Care anume? Să considerăm punctul \(R\), mijlocul segmentului \(QC\). Astfel, în triunghiul \(BQC\), \([MR]\) este linie mijlocie, prin urmare \(CR = RQ\) și, în plus, \(MR \| BQ\). Cea din urmă relație face ca, în triunghiul \(AMR\), segmentul \(PQ\) să fie, la rândul său, linie mijlocie. Iată că avem \(RQ= AQ\) și problema este rezolvată.
Probleme propuse
Problema 1, Problema 2, Problema 3, Problema 4, Problema 5, Problema 6, Problema 7, Problema 8
