Category: Teoria Numerelor

Votul nostru:

Rezolvați în \(\mathbb{N}\) ecuațiile:

a) \(x+(x+3,3)=18\); b) \(x+[x+5,8]=55\).

Votul tău:

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Votul nostru:

Aflați numerele naturale \(a,b,c\) știind că \([a,b]=(a,b)+55\) și \(a+b=35\).

(Dumitru Borcan)

Votul tău:

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Votul nostru:

Să se determine perechile de numere naturale \((a,b)\) pentru care avem: \((a,b)+[a,b]=b+25\).

(Gheorghe Lobonț)

Votul tău:

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Votul nostru:

Fie \(p\in \mathbb{N}\) un număr prim, astfel încât \(8p+1\) este prim. Să se determine numerele naturale \(a,b\) astfel încât
\[p\cdot [a,b]+(2p+1)(a,b)=8p^2+p.\]

(Marius Perianu)

Votul tău:

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Votul nostru:

Determinați tripletele de numere naturale \((a,b,c)\) care îndeplinesc condițiile \(0<a<b<c\), \((a,b,c)=6\), \([a,b,c]=1800\) și \(a\cdot b\cdot c=324000\).

(Gheorghe Radu)

Votul tău:

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Enunţul problemei este disponibil aici.

Din \((\overline{ab},\overline{ba})=a+b\) rezultă
\[\overline{ab}=(a+b)\cdot u
\quad(1)\]
\[\overline{ba}=(a+b)\cdot v
\quad(2)\]
cu \((u,v)=1\).
Atunci
\[\overline{ab}+\overline{ba}=(a+b)\cdot u+(a+b)\cdot v\Leftrightarrow
(10a+b)+(10b+a)=\\=(a+b)(u+v)\Leftrightarrow 11a+1bb=(a+b)(u+v)\Leftrightarrow
11(a+b)=\\=(a+b)(u+v).\]

Fiindcă \(a\ne 0\), \(b\ne 0\) obținem \(11=u+v\Rightarrow\)
\[(u,v)\in\{(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),(6,5),(7,4),\\,(8,3),(9,2),(10,1)\}.\]

1) \((u,v)=(1,10)\) atunci din (1) și (2) obținem:
\[\overline{ab}=a+b
\mbox{ și }
\overline{ba}=(a+b)\cdot 10\Rightarrow
10\overline{ab}=10(a+b)
\quad(3)\]
\[\overline{ba}=(a+b)\cdot 10
\quad(4)\]

Din (3) și (4) \[\Rightarrow 10\cdot \overline{ab}=\overline{ba}\Leftrightarrow 10(10a+b)=10b+a\Leftrightarrow 100a+10b=\\=10b+a\Leftrightarrow 99a=0\Rightarrow a=0\] imposibil (\(a\ne 0\), \(\overline{ab}\) număr în baza 10).

2) \((u,v)=(2,9)\). Din (1) și (2) obținem: \(\overline{ab}=(a+b)\cdot 2\) și \(\overline{ba}=(a+b)\cdot 9\), de unde
\[\overline{ab}:\overline{ba}=\displaystyle\frac{2}{9}\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{10a+b}{10b+a}=\displaystyle\frac{2}{9}\Leftrightarrow
9(10a+b)=2(10b+a)\Leftrightarrow\]
\[90a+9b=20b+2a\Leftrightarrow 88a=11b\Leftrightarrow 8a=b\]
de unde \(a=1\) și \(b=8\) deci \(\overline{ab}=18\).

3) \((u,v)=(3,8)\). Din (1) și (2) \(\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 3\) și \(\overline{ba}=(a+b)\cdot 8\Leftrightarrow \overline{ab}:\overline{ba}=\displaystyle\frac{3}{8}\Leftrightarrow
(10a+b)\cdot 8=3(10b+a)\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow 80a+8b=30b+3a\Leftrightarrow 77a=22b\Leftrightarrow 7a=2b\Rightarrow a=2\) și \(b=7\Rightarrow \overline{ab}=27\).

4) \((u,v)=(4,7)\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 4\) și \(\overline{ba}=(a+b)\cdot 7\Leftrightarrow \overline{ab}:\overline{ba}=\displaystyle\frac{4}{7}\Leftrightarrow
(10a+b)\cdot 7=(10b+a)\cdot 4\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow 70a+7b=40b+4a\Leftrightarrow 66a=33b\Leftrightarrow 2a=b\).

i) \(a=1\), \(b=2\Rightarrow \overline{ab}=12\); ii) \(a=2,\ b=4\Rightarrow \overline{ab}=24\);

iii) \(a=3,\ b=6\Rightarrow \overline{ab}=36\); iv) \(a=4,\ b=8\Rightarrow \overline{ab}=48\).

5) \((u,v)=(5,6)\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 5\) și \(\overline{ba}=(a+b)\cdot 6\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{10a+b}{10b+a}=\displaystyle\frac{5}{6}\Rightarrow 60a+6b=50b+5a\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
55a=44b\Leftrightarrow 5a=4b\Rightarrow a=4\) și \(b=5\) \(\Rightarrow \overline{ab}=\overline{45}\).

6) \((u,v)=(6,5)\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 6\) și \(\overline{ba}=(a+b)\cdot 5\Rightarrow \overline{ab}:\overline{ba}=\displaystyle\frac{6}{5}\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{10a+b}{10b+a}=\displaystyle\frac{6}{5}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
6(10b+a)=5(10a+b)\Leftrightarrow 60b+6a=50a+5b\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow 55b=44a\Leftrightarrow 5b=4a\Rightarrow a=5\), \(b=4\), \(\overline{ab}=54\).

7) \((u,v)=(7,4)\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 7\) și \(\overline{ba}=(a+b)\cdot 4\Rightarrow
\overline{ab}:\overline{ba}=\displaystyle\frac{7}{4}\Leftrightarrow
4(10a+b)=7(10b+a)\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
40a+4b=70b+7a\Leftrightarrow
33a=66b\Leftrightarrow a=2b\).

i) \(b=1\Rightarrow a=2\Rightarrow \overline{ab}=21\);

ii) \(b=2\Rightarrow a=4\Rightarrow \overline{ab}=42\);

iii) \(b=3\Rightarrow a=6\Rightarrow \overline{ab}=63\);

iv) \(b=4\Rightarrow a=8\Rightarrow \overline{ab}=84\).

8) \((u,v)=(8,3)\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 8\) și \(\overline{ba}=(a=b)\cdot 3
\Rightarrow \overline{ab}:\overline{ba}=\displaystyle\frac{8}{3}\Leftrightarrow 3(10a+b)=8(10b+a)\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
30a+3b=80b+8a\Leftrightarrow 22a=77b\Leftrightarrow 2a=7b\Rightarrow a=7\) și \(b=2\Rightarrow \overline{ab}=72\).

9) \((u,v)=(9,2)\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 9\) și
\(\overline{ba}=(a+8)\cdot 2\Rightarrow
\overline{ab}:\overline{ba}=\displaystyle\frac{9}{2}\Leftrightarrow
2(10a+b)=9(10b+a)\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow20a+2b=90b+9a\Leftrightarrow
11a=88b\Leftrightarrow a=8b\Rightarrow b=1\), \(a=8\Rightarrow \overline{ab}=\overline{81}\).

10) \((u,v)=(10,1)\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 10\) și
\(\overline{ba}=(a+b)\cdot 1\Rightarrow \overline{ab}:\overline{ba}=10\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow10a+b=10(10b+a)\Leftrightarrow
10a+b=100b+10a\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow 99b=0\Rightarrow b=0\) imposibil.

Atunci \(\overline{ab}\in\{18,27,12,24,36,48,45,54,21,42,63,84,72,81\}\).

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Enunţul problemei este disponibil aici.

Fie \(x,y,z\) cele trei numere. Atunci
\[x+y+z=2007
\quad(1)\]
\[z=(x+y)\cdot 20+12
\quad(2)\]
\[(x,y)=19
\quad(3)\]

Din (1) avem
\[x+y=2007-z
\quad(4)\]

Din (2) și (4) obținem: \(z=(2007-z)\cdot 20+12\), adică \(z+20z=40140+12\), de unde \(z=1912\). Atunci din (4), avem că \(x+y=2007-1912\), adică \[x+y=95 \quad(5)\]

Din (3) avem că \(x=19a\) și \(y=19b\) cu \((a,b)=1\). Din (5) obținem: \(19a+19b=95\), adică \(a+b=5\), de unde \((a,b)\in\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}\).

Cazul I.
Dacă \(a=1\) și \(b=4\) obținem: \(x=19\) și \(y=19\cdot 4=76\).

Cazul II.
Dacă \(a=2\) și \(b=3\), rezultă \(x=19\cdot 2=38\) și \(y=19\cdot 3=57\).

Cazul III.
Dacă \(a=3\) și \(b=2\) obținem \(x=19\cdot 3=57\) și \(y=19\cdot 2=38\).

Cazul IV.
Dacă \(a=4\) și \(b=1\) obținem \(x=4\cdot 19=76\) și \(y=19\).

Astfel
\((x,y)\in\{(19,76),(38,57),(57,38),(76,19)\}\) și \(z=1912\).

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Enunţul problemei este disponibil aici.

Numerele \(2m+1\) și \(2p+1\) cu \(m,p\in \mathbb{N}\) sunt numere impare, atunci \(u(9^{2m+1})=9\) și \(u(39^{2p+1})=9\). Atunci \(u(9^{2m+1}+1)=0\) și \(u(39^{2p+1}+1)=0\). Deci numerele \(x\) și \(y\) se divid cu 10, adică cu 5 și 2.

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!

Enunţul problemei este disponibil aici.

Numărul \(A=p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdot p_3^{x_3}\dots p_n^{x_n}\) are \((x_1+1)(x_2+1)\dots (x_n+1)\) divizori. Fiindcă \(10=2\cdot 5\) vom avea doi factori primi. Deci \(A=p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\). Cum numărul este cel mai mic alegem cele mai mici valori pentru \(p_1\) și \(p_2\) adică \(p_1=2\) și \(p_2=3\). Atunci
\[(x_1+1)(x_2+1)=2\cdot 5\Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x_1+1=2\\
x_2+1=5
\end{array}\right.
\mbox{ sau }
\left\{\begin{array}{l}
x_1+1=5\\
x_2+1=2
\end{array}\right.\]
de unde obținem
\[\left\{\begin{array}{l}
x_1=1\\
x_2=4
\end{array}\right.
\mbox{ sau }
\left\{\begin{array}{l}
x_1=4\\
x_2=1
\end{array}\right.\]

Avem astfel de comparat numerele \(2^1\cdot 3^4\) și \(2^4\cdot 3^1\) adică 162 și 48. Deci cel mai mic număr natural cu 10 divizori naturali este 48.

Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!