Enunţul problemei este disponibil aici.
Din \((\overline{ab},\overline{ba})=a+b\) rezultă
\[\overline{ab}=(a+b)\cdot u
\quad(1)\]
\[\overline{ba}=(a+b)\cdot v
\quad(2)\]
cu \((u,v)=1\).
Atunci
\[\overline{ab}+\overline{ba}=(a+b)\cdot u+(a+b)\cdot v\Leftrightarrow
(10a+b)+(10b+a)=\\=(a+b)(u+v)\Leftrightarrow 11a+1bb=(a+b)(u+v)\Leftrightarrow
11(a+b)=\\=(a+b)(u+v).\]
Fiindcă \(a\ne 0\), \(b\ne 0\) obținem \(11=u+v\Rightarrow\)
\[(u,v)\in\{(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),(6,5),(7,4),\\,(8,3),(9,2),(10,1)\}.\]
1) \((u,v)=(1,10)\) atunci din (1) și (2) obținem:
\[\overline{ab}=a+b
\mbox{ și }
\overline{ba}=(a+b)\cdot 10\Rightarrow
10\overline{ab}=10(a+b)
\quad(3)\]
\[\overline{ba}=(a+b)\cdot 10
\quad(4)\]
Din (3) și (4) \[\Rightarrow 10\cdot \overline{ab}=\overline{ba}\Leftrightarrow 10(10a+b)=10b+a\Leftrightarrow 100a+10b=\\=10b+a\Leftrightarrow 99a=0\Rightarrow a=0\] imposibil (\(a\ne 0\), \(\overline{ab}\) număr în baza 10).
2) \((u,v)=(2,9)\). Din (1) și (2) obținem: \(\overline{ab}=(a+b)\cdot 2\) și \(\overline{ba}=(a+b)\cdot 9\), de unde
\[\overline{ab}:\overline{ba}=\displaystyle\frac{2}{9}\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{10a+b}{10b+a}=\displaystyle\frac{2}{9}\Leftrightarrow
9(10a+b)=2(10b+a)\Leftrightarrow\]
\[90a+9b=20b+2a\Leftrightarrow 88a=11b\Leftrightarrow 8a=b\]
de unde \(a=1\) și \(b=8\) deci \(\overline{ab}=18\).
3) \((u,v)=(3,8)\). Din (1) și (2) \(\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 3\) și \(\overline{ba}=(a+b)\cdot 8\Leftrightarrow \overline{ab}:\overline{ba}=\displaystyle\frac{3}{8}\Leftrightarrow
(10a+b)\cdot 8=3(10b+a)\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow 80a+8b=30b+3a\Leftrightarrow 77a=22b\Leftrightarrow 7a=2b\Rightarrow a=2\) și \(b=7\Rightarrow \overline{ab}=27\).
4) \((u,v)=(4,7)\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 4\) și \(\overline{ba}=(a+b)\cdot 7\Leftrightarrow \overline{ab}:\overline{ba}=\displaystyle\frac{4}{7}\Leftrightarrow
(10a+b)\cdot 7=(10b+a)\cdot 4\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow 70a+7b=40b+4a\Leftrightarrow 66a=33b\Leftrightarrow 2a=b\).
i) \(a=1\), \(b=2\Rightarrow \overline{ab}=12\); ii) \(a=2,\ b=4\Rightarrow \overline{ab}=24\);
iii) \(a=3,\ b=6\Rightarrow \overline{ab}=36\); iv) \(a=4,\ b=8\Rightarrow \overline{ab}=48\).
5) \((u,v)=(5,6)\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 5\) și \(\overline{ba}=(a+b)\cdot 6\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{10a+b}{10b+a}=\displaystyle\frac{5}{6}\Rightarrow 60a+6b=50b+5a\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
55a=44b\Leftrightarrow 5a=4b\Rightarrow a=4\) și \(b=5\) \(\Rightarrow \overline{ab}=\overline{45}\).
6) \((u,v)=(6,5)\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 6\) și \(\overline{ba}=(a+b)\cdot 5\Rightarrow \overline{ab}:\overline{ba}=\displaystyle\frac{6}{5}\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{10a+b}{10b+a}=\displaystyle\frac{6}{5}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
6(10b+a)=5(10a+b)\Leftrightarrow 60b+6a=50a+5b\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow 55b=44a\Leftrightarrow 5b=4a\Rightarrow a=5\), \(b=4\), \(\overline{ab}=54\).
7) \((u,v)=(7,4)\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 7\) și \(\overline{ba}=(a+b)\cdot 4\Rightarrow
\overline{ab}:\overline{ba}=\displaystyle\frac{7}{4}\Leftrightarrow
4(10a+b)=7(10b+a)\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
40a+4b=70b+7a\Leftrightarrow
33a=66b\Leftrightarrow a=2b\).
i) \(b=1\Rightarrow a=2\Rightarrow \overline{ab}=21\);
ii) \(b=2\Rightarrow a=4\Rightarrow \overline{ab}=42\);
iii) \(b=3\Rightarrow a=6\Rightarrow \overline{ab}=63\);
iv) \(b=4\Rightarrow a=8\Rightarrow \overline{ab}=84\).
8) \((u,v)=(8,3)\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 8\) și \(\overline{ba}=(a=b)\cdot 3
\Rightarrow \overline{ab}:\overline{ba}=\displaystyle\frac{8}{3}\Leftrightarrow 3(10a+b)=8(10b+a)\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
30a+3b=80b+8a\Leftrightarrow 22a=77b\Leftrightarrow 2a=7b\Rightarrow a=7\) și \(b=2\Rightarrow \overline{ab}=72\).
9) \((u,v)=(9,2)\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 9\) și
\(\overline{ba}=(a+8)\cdot 2\Rightarrow
\overline{ab}:\overline{ba}=\displaystyle\frac{9}{2}\Leftrightarrow
2(10a+b)=9(10b+a)\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow20a+2b=90b+9a\Leftrightarrow
11a=88b\Leftrightarrow a=8b\Rightarrow b=1\), \(a=8\Rightarrow \overline{ab}=\overline{81}\).
10) \((u,v)=(10,1)\Rightarrow \overline{ab}=(a+b)\cdot 10\) și
\(\overline{ba}=(a+b)\cdot 1\Rightarrow \overline{ab}:\overline{ba}=10\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow10a+b=10(10b+a)\Leftrightarrow
10a+b=100b+10a\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow 99b=0\Rightarrow b=0\) imposibil.
Atunci \(\overline{ab}\in\{18,27,12,24,36,48,45,54,21,42,63,84,72,81\}\).
Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!
