Tag: c.m.m.d.c.

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c II

Teorie

Definiție

C.m.m.d.c. al numerelor naturale \(a\) și \(b\) este un număr natural \(d\) care satisface următoarele condiții:

1) \(d|a\) și \(d|b\) (\(d\) este divizor comun al numerelor \(a\) și \(b\)).

2) Oricare ar fi \(d_1\in \mathbb{N}\) cu \(d_1|a\) și \(d_1|b\Rightarrow d_1|d\)
(proprietatea de a fi cel mai mare din punct de vedere al divizibilității).

Se notează \(d=(a,b)\).

Definiție

Numerele naturale se numesc prime între ele dacă \((a,b)=1\).

Fie \(a,b\in \mathbb{N}\).
Dacă \(a|(b\cdot c)\) și \((a,b)=1\), atunci \(a|c\).

Dacă \(a|c\) și \(b|c\) și \((a,b)=1\), atunci \(ab|c\).

Definiție

C.m.m.m.c. al numerelor naturale \(a\) și \(b\) este un număr natural \(m\) care îndeplinește următoarele condiții:

1) \(a|m\) și \(b|m\) (\(m\) este multiplu comun).

2) Oricare ar fi \(m_1\in \mathbb{N}\) cu \(a|m_1\) și \(b|m_1\Rightarrow m|m_1\) (proprietatea de a fi cel mai mare din punct de vedere al divizibilității).

Observație

Pentru orice numere naturale \(a\) și \(b\) avem relația:
\[a\cdot b=(a,b)\cdot [a,b].\]

Probleme rezolvate

Problema 1

Pentru \(n\in \mathbb{N}\) se consideră numerele \(a=2n+5\) și \(b=5n+12\). Să se arate că \([a,b]=a\cdot b\).

(Iolanda Ionescu)

Soluție

Se cunoaște relația \(a\cdot b=[a,b]\cdot (a,b)\). Vom arăta că \((a,b)=1\).
Fie \(d=(a,b)\). Din \(d|(2n+5)\) și \(d|(5n+12)\Rightarrow d|5(2n+5)-2(5n+12)\) adică \(d|1\). Deci \(d=1\) și atunci \(a\cdot b=[a,b]\).

Problema 2

Se dau numerele: \(a=3n+2\), \(b=4n+3\), \(c=7n+5\), unde \(n\in \mathbb{N}\). Să se afle \(\Big[[a,b],c\Big]\), unde \([a,b]\) este cel mai mic multiplu comun al lui \(a\) și \(b\).

(Ioan Cuc)

Soluție

Vom arăta că numerele sunt prime două câte două. Din \(d|(3n+2)\) și \(d|4n+3\) obținem că: \[d|3(4n+3)-4(3n+2),\mbox{ adică } d|1 \quad(1)\]

Din \(d|3n+2\) și \(d|7n+5\Rightarrow d|3(7n+5)-7(3n+2)\Rightarrow\)
\[d|1 \quad(2)\]

Din \(d|4n+3\) și \(d|7n+5\Rightarrow d|7(4n+3)-4(7n+5)\Rightarrow\)
\[d|1
\quad(3)\]

Din (1), (2), 93) rezultă că cele trei numere sunt prime între ele și atunci
\[\Big[[a,b],c\Big]=(3n+2)(4n+3)(7n+5).\]

Problema 3

Să se determine trei numere naturale \(x,y,z\) astfel încât \((x,y)=3\), \((x,z)=5\), \((y,z)=7\), unde \((a,b)\) este cel mai mare divizor comun al numerelor \(a\) și \(b\).

Soluție

Din \((x,y)=3\Rightarrow x\vdots 3\), \(y\vdots 3\) iar din \((y,z)=7\Rightarrow y\vdots 7\) și \(z\vdots 7\), analog și din \((x,z)=5\Rightarrow x\vdots 5\) și \(z\vdots 5\). Atunci \(x=3\cdot 5=15\), \(y=7\cdot 3=21\) și \(z=7\cdot 5=35\).

Problema 4

Produsul numerelor naturale \(a\) și \(b\) este egal cu \(1350\), iar cel mai mic multiplu comun al acestor numere esre de \(6\) ori mai mare decât cel mai mare divizor comun al lor. Aflați numerele \(a\) și \(b\).

(Simona Pop)

Soluție

Fiindcă \(a\cdot b=1350\), \([a,b]=6\cdot (a,b)\) și \(a\cdot b=(a,b)\cdot [a,b]\) obținem: \(1350=(a,b)\cdot 6\cdot (a,b)\) sau \((a,b)\cdot (a,b)=225\) de unde \[(a,b)=15 \quad(1)\]

Din (1) rezultă
\[a=15\cdot k
\quad\mbox{și}\quad
b=15\cdot u
\quad(2)\]
unde \((k,u)=1\).
Atunci din \(a\cdot b=1350\Rightarrow 15k\cdot 15u=1350\Rightarrow k\cdot u=6\) (\(6=1\cdot 6=2\cdot 3=3\cdot 2=6\cdot 1\)). Deci avem situațiile:

1) \(k=1\) și \(u=6\), rezultă din (2) \(a=15\), \(b=90\).

2) \(k=2\) și \(u=3\) \(\Rightarrow a=15\cdot 2=30\) și \(b=15\cdot 3=45\).

3) \(k=3\) și \(u=2\Rightarrow a=15\cdot 3=45\) și \(b=15\cdot 2=30\).

4) \(k=6\) și \(u=1\Rightarrow a=15\cdot 6=90\) și \(b=15\cdot 1=15\).

Soluția este: \((a,b)\in\{(15,90),(30,45),(45,30),(90,15)\}\).

Problema 5

Aflați numerele naturale \(a\) și \(b\) știind că
\[[a,b]=55+(a,b)
\quad\mbox{și}\quad
a+b=35.\]

(Dumitru Borocan)

Soluție

Fie \(d=(a,b)\Rightarrow a=d\cdot x\) și \(b=d\cdot y\) cu \((x,y)=1\).
Din
\[a\cdot b=(a,b)\cdot [a,b]\Rightarrow dx\cdot dy=d\cdot [a,b]\Rightarrow
[a,b]=dxy
\quad(1)\]
iar \(a+b=35\) devine:
\[dx+dy=35\Rightarrow d(x+y)=35\Rightarrow d|35\Rightarrow d\in\{1,5,7,35\}
\quad(2)\]

Relația \([a,b]=55+(a,b)\) devine:
\[dxy=55+d\Rightarrow 55=dxy-d\Rightarrow 55=d(xy-1)\Rightarrow\\\Rightarrow
d|55\Rightarrow d\in\{1,5,11,55\}
\quad(3)\]

Din (2) și (3) \(\Rightarrow d\in\{1,5\}\).

1) Dacă \(d=1\) obținem
din \(dx+dy=35\) că
\[x+y=35
\quad(4)\]
iar din relația
\[55=d(xy-1)\Rightarrow 55=xy-1\Rightarrow
xy=56
\quad(5)\]

Din (4) și (5) rezultă că nu există valori naturale ale lui \(x\) și \(y\)
pentru care cele două relații au loc simultan.
Deci nu avem soluție în acest caz.

2) Dacă \(d=5\) din \(dx+dy=35\Rightarrow x+y=7\) și din
\(55=d(xy-1)\Rightarrow 11=xy-1\Rightarrow xy=12\).
Din relațiile \(x+y=7\) și \(xy=12\Rightarrow x=3\) și \(y=4\) sau
\(x=4\) și \(y=3\) de unde

a) \(a=d\cdot x=3\cdot 5=15\) și \(b=4\cdot 5=20\) și

b) \(a=d\cdot x=4\cdot 5=20\) și \(y=5\cdot 3=15\).

Deci \((a,b)\in\{(15,20),(20,15)\}\).

Problema 6

Determinați toate perechile de numere naturale \((a,b)\) știind că cel mai mare divizor comun al lor este 7, iar suma lor este 168.

Soluție

Din \((a,b)=7\Rightarrow a=7k\) și \(b=7l\) cu \((k,l)=1\). Atunci \(a+b=168\) devine: \(7k+7l=168\Leftrightarrow k+l=24\) rezultă

1) \(k=5,\ l=19\); 2) \(k=7,\ l=17\); 3) \(k=11,\ l=13\);

4) \(k=19,\ l=5\); 5) \(k=17,\ l=7\); 6) \(k=13,\ l=11\).

1) Pentru \(k=5,\ l=19\Rightarrow a=7k=35,\ b=7l=133\).

2) Pentru \(k=7,\ l=17\Rightarrow a=7\cdot 7=49,\ b=17\cdot 7=119\).

3) Pentru \(k=11,\ l=13\Rightarrow a=7k=77,\ b=7l=91\).

4) Pentru \(k=19,\ l=5\Rightarrow a=7\cdot 19=133,\ b=7\cdot 5=35\).

5) Pentru \(k=17,\ l=7\Rightarrow a=17\cdot 7=119,\ b=7\cdot 7=49\).

6) Pentru \(k=13,\ l=11\Rightarrow a=7\cdot 13=91,\ b=7\cdot 11=77\).

Deci \((a,b)\in\{(35,133),(49,119),(77,91),(133,35),(119,49),(91,77)\}\).

Problema 7

Să se afle numerele naturale \(a\) și \(b\) pentru care avem: \([a,b]-(a,b)=26\), unde \([a,b]\) este cel mai mic multiplu comun al numerelor \(a\) și \(b\), iar \((a,b)\) cel mai mare divizor comun.

(Vasile Șerdean)

Soluție

Fie \(d=(a,b)\). Atunci
\[a=d\cdot x\mbox{ și }
b=d\cdot y\mbox{ cu } (x,y)=1
\quad(1)\]

Cu (1), relația din ipoteză devine:
\[d\cdot xy-d=26\Leftrightarrow
d\cdot (xy-1)=26
\quad(2)\]

Din (2) \(\Rightarrow d\in\{1,2,13,26\}\).

1. Dacă \(d=1\), din (2) \(\Rightarrow xy-1=26\) sau \(xy=27\).
Deci
\[\left\{\begin{array}{l}
x=1\\
y=27
\end{array}\right.
\mbox{ sau }
\left\{\begin{array}{l}
x=27\\
y=1
\end{array}\right.
\quad (x,y)=1\]

Atunci din (1) rezultă
\[\left\{\begin{array}{l}
a=1\\
b=27
\end{array}\right.
\mbox{ sau }
\left\{\begin{array}{l}
a=27\\
b=1
\end{array}\right.\]

2. Dacă \(d=2\), din (2) \(\Rightarrow 2(xy-1)=26\) și deci \(xy=14\).
Atunci
\[{\rm I}\left\{\begin{array}{l}
x=1\\
y=14
\end{array}\right.\quad
{\rm II}\left\{\begin{array}{l}
x=14\\
y=1
\end{array}\right.\quad
{\rm III}\left\{\begin{array}{l}
x=2\\
y=7
\end{array}\right.\quad
{\rm IV}\left\{\begin{array}{l}
x=7\\
y=2
\end{array}\right.\]
iar din (1) rezultă valorile corespunzătoare pentru \(a\) și \(b\)
\[{\rm I}\left\{\begin{array}{l}
a=2\\
b=28
\end{array}\right.\quad
{\rm II}\left\{\begin{array}{l}
a=28\\
b=2
\end{array}\right.\quad
{\rm III}\left\{\begin{array}{l}
a=4\\
b=14
\end{array}\right.\quad
{\rm IV}\left\{\begin{array}{l}
a=14\\
b=4
\end{array}\right.\]

3. Dacă \(d=13\), din (2) rezultă \(13(xy-1)=26\) sau \(xy=3\).
Deci
\[\left\{\begin{array}{l}
x=1\\
y=3
\end{array}\right.
\mbox{ sau }
\left\{\begin{array}{l}
x=3\\
y=1
\end{array}\right.\]

Din (1) rezultă
\[\left\{\begin{array}{l}
a=13\\
b=39
\end{array}\right.
\mbox{ sau }
\left\{\begin{array}{l}
a=39\\
b=13
\end{array}\right.\]

4. \(d=26\) din (2) rezultă \(26(xy-1)=26\Rightarrow xy=2\). Deci
\[\left\{\begin{array}{l}
x=1\\
y=2
\end{array}\right.
\mbox{ sau }
\left\{\begin{array}{l}
x=2\\
y=1
\end{array}\right.\]

Din (1) rezultă
\[\left\{\begin{array}{l}
a=26\\
b=52
\end{array}\right.,\quad
\left\{\begin{array}{l}
a=52\\
b=26
\end{array}\right.\]

Problema 8

Aflați numerele naturale \(a\) și \(b\) știind că \((a,b)+[a,b]=91\) și \(a-b=(a,b)\), unde \((a,b)=c.m.m.d.c.\) și \([a,b]=c.m.m.m.c.\)

(Leon Genoiu)

Soluție

Fie \(d=(a,b)\Rightarrow a=d\cdot x\) și \(b=d\cdot y\) cu \((x,y)=1\). Din
\[a-b=(a,b)\Rightarrow dx-dy=d\Rightarrow x-y=1 \quad(1)\] iar din \(a\cdot b=(a,b)\cdot [a,b]\) obținem: \(dx\cdot dy=d[a,b]\Rightarrow [a,b]=dxy\) atunci din \((a,b)+[a,b]=91\Rightarrow d+dxy=91\Rightarrow d(1+xy)=91\Rightarrow\\\Rightarrow d(1+xy)=1\cdot 7\cdot 13\Rightarrow d\in\{1,7,13,91\}\).

1) Dacă \(d=1\Rightarrow a=x\) și \(b=y\) și atunci cu \((a,b)+[a,b]=91\) obținem: \(1+xy=91\Rightarrow xy=90\) cu \(x-y=1\) din (1) \(\Rightarrow x=10\) și \(y=9\) și atunci \(a=x=10\) și \(b=y=9\).

2) Dacă \(d=7\Rightarrow a=dx=7x\) și \(b=dy=7y\) atunci \((a,b)+[a,b]=91\) devine: \(7+7xy=7\cdot 13\Rightarrow 1+xy=13\Rightarrow xy=12\) cu \(x-y=1\) de unde \(x=4\) și \(y=3\) și atunci \(a=7x=28\) și \(b=7y=7\cdot 3=21\).

3) Dacă \(d=13\Rightarrow a=dx=13x\) și \(b=dy=13y\), atunci \((a,b)+[a,b]=91\) devine: \(13+13xy=13x\cdot 7\Rightarrow 1+xy=7\Rightarrow xy=6\) cu \(x-y=1\Rightarrow x=3\) și \(y=2\) și deci \(a=dx=13\cdot 3=39\) și \(b=13\cdot 2=26\).

4) Dacă \(d=91\) atunci \(a=dx=91x\) și \(b=dy=91y\), iar \((a,b)+[a,b]=91\) devine: \(91+91xy=91\Rightarrow 1+xy=1\Rightarrow xy=0\) cu \(x-y=1\Rightarrow y=0\) și \(x=1\), \(\Rightarrow a=91\) și \(b=0\). Deci soluția problemei este: \((a,b)\in\{(10,9),(28,21),(39,26),(91,0)\}\).

Problema 9

Determinați numerele naturale \(x\) și \(y\) știind că \(a=3x+2\) și \(b=5y-1\) iar \((a,b)=28\) și \([a,b]=924\).

Soluție

Din \((a,b)=28\Rightarrow a=28n\) și \(b=28k\) cu \((n,k)=1\). Fiindcă \(a\cdot b=(a,b)\cdot [a,b]\) obținem: \(28n\cdot 28k=28\cdot 924\) de unde \(n\cdot k=33=3\cdot 11=11\cdot 3=1\cdot 33=33\cdot 1\).

1) Pentru \(n=3\) și \(k=11\) obținem: \(a=28\cdot 3\) și \(b=28\cdot 11\) sau \(a=84\) și \(b=308\) și atunci din \(a=3x+2\) și \(b=5y-1\Rightarrow 84=3x+2\) și \(308=5y-1\), de unde \(x=82:3\not\in \mathbb{N}\) și \(y=309:5\not\in \mathbb{N}\), deci nu avem soluție în acest caz.

2) Pentru \(n=11\) și \(k=3\) obținem \(a=28\cdot 11=308\) și \(b=28\cdot 3=84\). Atunci din \(a=3x+2\) și \(b=5y-1\) rezultă că \(308=3x+2\) și \(84=5y-1\), de unde \(3x=306\) și \(5y=85\) de unde \(x=102\) și \(y=17\).
În acest caz soluția este \(x=102\) și \(y=17\).

3) Dacă \(n=1\) și \(k=33\Rightarrow a=28\) și \(b=28\cdot 33=924\). Din \(a=3x+2\) și \(b=5y-1\Rightarrow 28=3x+2\) și \(924=5y-1\) de unde \(3x=26\) și \(5y=925\). Fiindcă \(3x=26\) nu are soluții în \(\mathbb{N}\) nu avem soluție în acest caz.

4) Dacă \(n=33\) și \(k=1\) obținem \(a=28\cdot 33=924\) și \(b=28\cdot 1=28\). Atunci \(924=3x+2\) și \(28=5y-1\), relații imposibile în \(\mathbb{N}\). Nu avem soluție în acest caz.

Atunci soluția problemei este \(x=102\) și \(y=17\).

Problema 10

Fie \(x\) un număr prim și \(n\in \mathbb{N}^*\) care verifică relația:
\[x^{2n}=3(4+4^2+4^3+\dots +4^{2008})+4.\]

a) Să se determine \(x\) și \(n\).

b) Verificați dacă diferența dintre suma divizorilor lui \(n\) și suma divizorilor lui \(x\) este divizibilă cu 5.

Soluție

a) Fiindcă \(3=4-1\) obținem:
\[x^{2n}=(4-1)(4+4^2+\dots +4^{2008})+4\mbox{ sau}\]
\[x^{2n}=(4^2+4^3+4^4+\dots +4^{2008}+4^{2009})-\\-(4+4^2+\dots +4^{2008})+4\]
deci \(x^{2n}=4^{2009}\). Fiindcă \(x\) este prim și membrul drept este par, rezultă că și membrul stâng trebuie să fie par, deci \(x=2\). Din \(2^{2n}=4^{2009}\Rightarrow 4^n=4^{2009}\), obținem \(n=2009\).

b) \(D_{2009}=\{1,7,41,49,287,2009\}\).

Suma divizorilor numărului 2009 este: \(1+7+41+49+287+2009\) este 2394. \(D_x=D_2=\{1,2\}\). Suma divizorilor lui 2 este 3. Diferența \(2394-3=2391\) nu se divide cu 5.

Probleme propuse

Problema 1, Problema 2, Problema 3, Problema 4, Problema 5, Problema 6, Problema 7, Problema 8, Problema 9, Problema 10, Problema 11, Problema 12, Problema 13, Problema 14, Problema 15, Problema 16, Problema 17.