Enunţul problemei este disponibil aici.
În \(\Delta ABC\), fie \(M\) mijlocul laturii \((AB)\) și \(MN\parallel BC\), \(N\in (AC)\), iar \(NP\parallel AB\), \(P\in (BC)\). Din \(\Delta BMP \equiv \Delta NPM\) (U.L.U.), rezultă:
\((BM) \equiv (NP)\), (1);
\((BP)\!\equiv\! (MN)\), (2);
\(\angle{MBP}\! \equiv\! \angle{PNM}\), (3).
Din
\(\Delta BMP \equiv \Delta MAN\) \((LUL)\), rezultă:
\(\angle{BPM} \equiv \angle{MNA}\), (4);
\(\angle{BMP} \equiv \angle{MAN}\), (5);
\((MP)\equiv (AN)\), (6).
Din (4) rezultă că \(MP\parallel AN\) și astfel \(\angle{MPN} \equiv \angle{PNC}\). Dar \(MN\parallel BC\) și astfel \(\angle{MNP} \equiv \angle{NPC}\). Folosind aceste congruențe rezultă \(\Delta PNM \equiv \Delta NPC\), de unde:
\((MN)\! \equiv\! (PC)\), (7);
\((MP) \equiv (NC)\), (8) și
\(\angle{NMP} \equiv \angle{PCN}\), (9).
Din (6) și (8), rezultă \((AN) \equiv (NC)\), deci \(N\) este mijlocul laturii \((AC)\).
Observații
1. Astfel \((MN)\) este linie mijlocie în \(\Delta ABC\) și \(MN\parallel BC\), \(MN = \frac{{BC}}{2}\).
2. Proprietățile liniei mijlocii au fost demonstrate astfel la nivelul cunoștințelor unui elev de clasa a VI-a, devansând astfel aceste cunoștințe care erau posibile conform programei abia în clasa a VII-a, după asemănarea triunghiurilor.
Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!
