Enunţul problemei este disponibil aici.
Deoarece \([x],[y]\in\mathbb{N}\), prima ecuaţie conduce la două cazuri posibile: (i) \([x]=1\), \([y]=1\); în acest caz avem însă \(x\in[1,2)\), \(y\in[1,2)\) \(\Rightarrow\) \(x^{2}+y^{2} < 8 < 12,5\); (ii) \([x]=0\), \([y]=3\) \(\Rightarrow\) \(x\in[0,1)\), \(y\in[3,4)\); notăm \(\{x\}=\alpha\), \(\{y\}=\beta\) şi astfel, a doua ecuaţie conduce la \(\alpha^{2}+(3+\beta)^{2}=12,5\) (*); pe de altă parte, condiţia \((x+y)\in\mathbb{N}\) impune \(\alpha+\beta=1\) \(\Rightarrow\) \(\alpha=1-\beta\) şi astfel (*) devine \((1-\beta)^{2}+(3+\beta)^{2}=12,5\). Calcule imediate conduc la \((\beta+1)^{2}=\frac{9}{4}\) şi, cum \(\beta\in[0,1)\), ajungem la \(\beta=\frac{1}{2}\), deci şi \(\alpha=\frac{1}{2}\);
soluţia sistemului este aşadar perechea \((x,y)=\left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)\).
Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!
