Enunţul problemei este disponibil aici.
Adunăm cele două ecuaţii şi obţinem \(x-y=2\sqrt{2}\) sau \(x=y+2\sqrt{2}\). Prima ecuaţie devine astfel: \([y+2\sqrt{2}]-\{y\}=\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow\) \([y+2\sqrt{2}]-y+[y]=\sqrt{2}\) (*). Notăm \([y]=k\in\mathbb{Z}\), aşadar \(k\leq y < k+1\); revenind la (*), obţinem \([y+2\sqrt{2}]=y+\sqrt{2}-k\) \(=m\in\mathbb{Z}\), de unde \(y=m+k-\sqrt{2}\); în continuare se ajunge la: \(m\leq y+2\sqrt{2} < m+1\) \(\Leftrightarrow\) \(m\leq m+k+\sqrt{2} < m+1\), aşadar \(0\leq k+\sqrt{2} < 1\), de unde \(k=-1\). Acum, avem \(-1\leq y < 0\) \(\Leftrightarrow\) \(-1\leq m-1-\sqrt{2} < 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{2}\leq m < 1+\sqrt{2}\), deci \(m=2\). În concluzie, \(y=1-\sqrt{2}\), \(x=1+\sqrt{2}\).
Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!
