Probleme rezolvate
Problema 1
Fie \(ABCD\) un trapez isoscel cu baza mare \([AD]\), \(BE \perp AD\), \(E \in (AD)\) și \(F\) mijlocul diagonalei \([BD]\). Arătați că \(EF \| AC\) și \(EF = 1/2\cdot AC\).
Soluție
Configurația este simplă. Deoarece \([EF]\) este mediană în triunghiul dreptunghic \(BED\), avem \(EF = 1/2\cdot BD = 1/2\cdot AC\). Cum triunghiul \(FED\) este isoscel, rezultă că \(\angle FED \equiv \angle FDE \equiv \angle CAD\), fapt care conduce la \(EF \| AC\).
Problema 2
Fie \(ABCD\) un paralelogram, \(M\) mijlocul laturii \([AB]\), \(N\) mijlocul laturii \([CD]\), iar \(P\) piciorul perpendicularei din \(D\) pe \(CM\). Demonstrați că \(\angle APN \equiv \angle ABC\).
(Prof. Marin Chirciu, Pitești)
Soluție
Ce legătură are problema aceasta cu trapezul? Are! Să considerăm, mai întâi, configurația în care \(P\in (CM)\). Patrulaterul \(AMCN\) este paralelogram și, din această cauză patrulaterul \(AMPN\) este trapez.
Mai mult, deoarece \(NP = DC/2 = AB/2 = AM\), trapezul \(AMPN\) este isoscel. Rețineți! În orice trapez isoscel, unghiurile formate de diagonale cu două dintre laturile opuse sunt congruente. Așa că, în trapezul nostru, avem \(\angle AMN \equiv \angle APN\). Deoarece dreptele \(MN\) și \(BC\) sunt paralele, rezultă că \(\angle AMN \equiv \angle ABC\). Ultimele două relații rezolvă problema. Analizați și celelalte configurații posibile conform enunțului!
Problema 3
În trapezul dreptunghic \(ABCD\), \(AB\| CD\), \(AB > CD\), \(m(\angle B) = m(\angle C) = 90^\circ\), \((AC\) este bisectoarea unghiului \(DAB\). Se duce \(DM \perp AC\) și se notează cu \(P\) și \(N\) simetricele lui \(M\) față de \(BC\), respectiv \(AB\). Să se arate că \(ACNP\) este paralelogram.
(Prof. Florica Popescu)
Soluție
Am ales această problemă pentru a vă atrage, de fapt, atenția asupra unui alt rezultat. și anume că: “simetricele unui punct situat pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic față de catete sunt coliniare cu vârful unghiului drept”. (Vă las plăcerea de a demonstra acest lucru.)
În problema noastră, deoarece triunghiul \(DAC\) este isoscel \((DA = DC)\), punctul \(M\) este chiar mijlocul ipotenuzei \([AC]\) a triunghiului drptunghic \(ABC\). Ca urmare, patrulaterele \(APBM\) și \(NCBM\) sunt romburi ale căror laturi au lungimea cât \(BM\). Cum punctele \(N\), \(B\), și \(P\) sunt coliniare, rezultă că patrulaterul \(APNC\) are laturile opuse congruente două câte două, deci este paralelogram.
Probleme propuse
Problema 1, Problema 2, Problema 3, Problema 4, Problema 5, Problema 6.
