Enunţul problemei este disponibil aici.
Avem de demonstrat că propozițiile “\(BP \perp CD\)” și “patrulaterul \(MNPD\) este paralelogram” sunt echivalente. Cu alte cuvinte, fiecare dintre propoziții reprezintă o condiție necesară și suficientă pentru ca cealaltă propoziție să fie adevărată.
Să demonstrăm, mai întâi, că este suficient ca “\(BP \perp CD\)”, pentru ca “patrulaterul \(MNPD\) să fie paralelogram”. În acest caz, propoziția “\(BP \perp CD\)” face parte din ipoteză. În triunghiul dreptunghic \(BPC\), \([NP]\) este mediană, așa că triunghiul \(NPC\) este isoscel cu \(NP = NC\). Înseamnă că \(\angle NPC\equiv \angle NAP\equiv \angle ADC\). De aici deducem că dreptele \(NP\) și \(MD\) sunt paralele. Cum și dreptele \(MN\) și \(DP\) sunt paralele, rezultă că “patrulaterul \(MNPD\) este paralelogram”.
Demonstrăm acum că, dacă “patrulaterul \(MNPD\) este paralelogram”,
este necesar ca “\(BP \perp CD\)”. Este ușor de sesizat că, în triunghiul \(BPA\), \([PN]\) este mediană și \(PN = 1/2\cdot BC\). Deducem că triunghiul \(BPC\) este dreptunghic în \(P\).
Rețineți că problemele care au în concluzie o echivalență reprezintă, de fapt, duble probleme.
Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!
