Enunţul problemei este disponibil aici.
Triunghiul \(OMN\) există. Dacă \(O\) s-ar situa pe linia mijlocie a trapezului, atunci el ar fi mijlocul fiecărei diagonale și patrulaterul \(ABCD\) ar fi paralelogram. Problema este echivalentă cu: \(AC \perp BD\) dacă și numai dacă \(OM + ON = (AD + BC)/2\).
Să considerăm, mai întâi, că trapezul este ortodiagonal. În acest caz avem:
\(OM = AD/2\), \(ON = BC/2\) deoarece segmentele \(OM\) și \(ON\) sunt mediane în triunghiurile \(DOA\) și \(COB\), corespunzătoare ipotenuzelor.
În cazul în care \(OM + ON = (AD + BC)/2\), dacă \(m(\angle BOC) < 90^\circ\), atunci \(ON > BC\) și \(OM > AD\), fapt care intră în contradicție cu ipoteza. Contradicția apare și în cazul în care \(m(\angle BOC) > 90^\circ\). În concluzie \(m(\angle BOC)= 90^\circ\).
Suntem obligați, pentru a termina rezolvarea, să arătăm că: “Mediana care are un capăt în vârful unui unghi ascuțit (obtuz) al unui triunghi este mai lungă (scurtă) decât latura opusă acestuia”. Încercați!
Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!
