Probleme rezolvate
Problema 1
Fie triunghiul \(ABC\) în care \(m(\angle{ABC})=75^\circ\) și \(m(\angle{ACB})=80^\circ\). Considerăm punctele \(E\in [AC]\) și \(F\in [AB]\) astfel încât \(m(\angle{FBE})=25^\circ\) și \(m(\angle{FCB})=40^\circ\). Determinați \(m(\angle{AEF})\) și demonstrați că \(BE\perp CF\).
Soluție
(Fig. 5-1)
Din \(\triangle ABC\) avem \(m(\angle{BAC})=180^\circ-(75^\circ+80^\circ)=25^\circ\), \(m(\angle{CBE})=m(\angle{CBF})-m(\angle{FBE})=75^\circ-25^\circ=50^\circ\). Fie \(\{M\}=BE\cap FC\). În \(\triangle BCM\) avem \(m(\angle{BMC})=180^\circ-(40^\circ+50^\circ)=90^\circ\), deci \(BE\perp CF\). În \(\triangle BCM\) avem din \(\triangle CBE\) avem \(m(\angle{CEB})=180^\circ-(80^\circ+50^\circ)=50^\circ\), deci \(\triangle ECB\) este isoscel cu \((CE)\equiv (CB)\). Bisectoarea \((CF\) este și mediatoarea segmentului \((EB)\). Punctul \(F\) este situat pe mediatoarea segmentului \([EB]\) și atunci \((EF)\equiv (BF)\), de unde rezultă că \(m(\angle{FEB})=25^\circ\).
Astfel \[m(\angle{AEF})=180^\circ-m(\angle{CEB})-m(\angle{FEB})=\\=180^\circ-50^\circ-25^\circ=105^\circ\]
Fig. 5.1
Problema 2
În triunghiul \(ABC\) avem: \(m(\angle{A})-m(\angle{C})=75^\circ\) \((m(\angle{C})>m(\angle{B}))\). Știind că măsura unghiului format de bisectoarea și înălțimea care pleacă din \(A\) este \(22^\circ 30’\) să se calculeze măsurile unghiurilor triunghiului \(ABC\).
Soluție
(Fig. 5-2)
Din \(m(\angle{A})-m(\angle{C})=75^\circ\), rezultă că \(m(\angle{A})=75^\circ+m(\angle{C})\). Să arătăm că unghiul format de bisectoarea și înălțimea care pleacă din \(A\) are măsura \(\displaystyle\frac{m(\angle{C})-m(\angle{B})}{2}\).
Din \(m(\angle{A})=180^\circ-m(\angle{B})-m(\angle{C})\) obținem
\[\displaystyle\frac{1}{2}m(\angle{A})=\displaystyle\frac{180^\circ-m(\angle{B})-m(\angle{C})}{2}\] Avem \(m(\angle{DAM})=m(\angle{CAM})-m(\angle{CAD})\) și \(m(\angle{CAD})=90^\circ-m(\angle{C})\) (din \(\triangle ADC\))
atunci
\[m(\angle{DAM})=m(\angle{CAM})-[90^\circ-m(\angle{C})]
=\\=\displaystyle\frac{m(\angle{A})}{2}-90^\circ+m(\angle{C})
=\displaystyle\frac{180^\circ-m(\angle{B})-m(\angle{C})}{2}-\\-90^\circ+m(\angle{C})
=\displaystyle\frac{180^\circ-m(\angle{B})-m(\angle{C})-180^\circ+2m(\angle{C})}{2}
=\\=\displaystyle\frac{m(\angle{C})-m(\angle{B})}{2}.\]
Din \(\displaystyle\frac{m(\angle{C})-m(\angle{B})}{2}=22^\circ 30’\) rezultă \(m(\angle{C})-m(\angle{B})=45^\circ\), de unde \(m(\angle{B})=m(\angle{C})-45^\circ\). Din \(m(\angle{A})+m(\angle{B})+m(\angle{C})=180^\circ\) obținem
\[[75^\circ+m(\angle{C})]+[m(\angle{C})-45^\circ]+m(\angle{C})=\\=180^\circ\Leftrightarrow
3m(\angle{C})=150^\circ\Leftrightarrow m(\angle{C})=50^\circ\]
și atunci \(m(\angle{A})=75^\circ+50^\circ=125^\circ\) iar \(m(\angle{B})=50^\circ-45^\circ=5^\circ\).
Fig. 5.2
Problema 3
Se consideră triunghiul \(ABC\) cu \(m(\angle{A})=20^\circ\) și \(m(\angle{C})=40^\circ\). Fie \(T\in (AC)\) astfel ca \((BC)\equiv (AT)\). Calculați \(m(\angle{ATB})\).
(Vasile Șerdean)
Soluție
(Fig. 5-3)
Din \(m(\angle{A})+m(\angle{B})+m(\angle{C})=180^\circ\) obținem
\(m(\angle{B})=120^\circ\). Ducem bisectoarea \([CM\) a unghiului \(\angle{C}\), \(M\in (AB)\) și obținem \(m(\angle{MCA})=20^\circ\). Atunci \(\triangle MAC\) este isoscel \((m(\angle{MCA})=m(\angle{MAC})=20^\circ)\) cu \((MA)\equiv (MC)\). Din congruența triunghiurilor \(BCM\) și \(TAM\) (L.U.L.) (\((BC)\equiv (AT)\), \((AC)\equiv (MA)\), \(\angle{BCM}\equiv \angle{TAM}(20^\circ)\)) rezultă \((MB)\equiv (MT)\) și \(\angle{CBM}\equiv \angle{ATM}\), deci \(m(\angle{ATM})=120^\circ\) și din \(\triangle ATM\) obținem \(m(\angle{TMA})=180^\circ-20^\circ-120^\circ=40^\circ\), apoi \(m(\angle{TMB})=140^\circ\). Triunghiul \(MTB\) fiind isoscel cu \((MT)\equiv (MB)\) avem \(m(\angle{MTB})=(180^\circ-140^\circ):2=40^\circ:2=20^\circ\).
Atunci
\(m(\angle{ATB})=m(\angle{ATM})+m(\angle{MTB})=120^\circ+20^\circ=140^\circ\).
Fig. 5.3
Problema 4
În triunghiul \(ABC\), \(M\) este mijlocul lui \([BC]\), iar \(D\) este piciorul bisectoarei unghiului \(B\), \(D\in (AC)\). Aflați măsurile unghiurilor triunghiului \(ABC\) știind că \(BD\perp AM\) și \([BD]\equiv [DC]\).
(Dorel Miheț)
Soluție
(Fig. 5-4)
Din ipoteză \([BD]\equiv [DC]\) și atunci \(\triangle BCD\) este isoscel, iar mediana \(DM\) va fi și înălțime, deci \(DM\perp BC\). Fie \(\{E\}=BD\cap AM\). În \(\triangle ABM\), bisectoarea \((BE\) fiind și înălțime, \(\triangle ABM\) este isoscel cu \((BA)\equiv (BM)\). Din congruența triunghiurilor \(ABD\) și \(MBD\) (L.U.L.) (\((BA)\equiv (BM)\), \((BD)\equiv (BD)\), \(\angle{ABD}\equiv \angle{MBD}\)) rezultă că \(\angle{DMB}\equiv \angle{DAB}\), deci \(m(\angle{DAB})=90^\circ\). Fiindcă \(m(\angle{ACB})=\displaystyle\frac{m(\angle{ABC})}{2}\), adică \(m(\angle{ABC})=2m(\angle{ACB})\) și \(m(\angle{ABC})+m(\angle{ACB})=90^\circ\), obținem \[2m(\angle{ACB})+m(\angle{ACB})=90^\circ\Leftrightarrow
3m(\angle{ACB})=90^\circ\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow m(\angle{ACB})=30^\circ\] și atunci \(m(\angle{ABC})=2\cdot 30^\circ=60^\circ\).
Fig. 5.4
Problema 5
Pe segmentul \([AC]\) se consideră punctul \(B\) și se construiesc, de aceeași parte a segmentului \([AC]\), triunghiurile echilaterale \(ABM\) și \(BCN\). Fie \(AN\cap CM=\{L\}\). Să se determine măsura unghiului \(CLN\).
Soluție
(Fig. 5-5)
Din \(m(\angle{ABM})+m(\angle{MBN})+m(\angle{NBC})=180^\circ\) rezultă \(60^\circ+m(\angle{MBN})+60^\circ=180^\circ\), de unde \(m(\angle{MBN})=60^\circ\). Din congruența triunghiurilor \(ABN\) și \(MBC\) (L.U.L.), (\((AB)\equiv (MB)\), \((BN)\equiv (BC)\), \(\angle{ABN}\equiv \angle{MBC}(120^\circ)\)), rezultă că \(\angle{BAN}\equiv \angle{BMC}\). În \(\triangle MLA\) avem: \[m(\angle{ALM})=180^\circ-m(\angle{MAL})-m(\angle{AML})=\\=180^\circ-[60^\circ-m(\angle{LAB})]
-[60^\circ+m(\angle{BML})]=\\=60^\circ+m(\angle{LAB})-m(\angle{BML})=60^\circ\]
pentru că \(\angle{LAB}\equiv \angle{BML}\). Atunci \(\angle{ALM}\equiv \angle{CLN}\) (opuse la vârf) și \(m(\angle{CLN})=60^\circ\).
Fig. 5.5
Probleme propuse
Problema 1, Problema 2, Problema 3, Problema 4, Problema 5, Problema 6, Problema 7, Problema 8, Problema 9, Problema 10.
