Teorie
Pentru rezolvarea problemelor de paralelism (la nivelul clasei a VI-a) vom prezenta mai jos unele metode mai des folosite, însoțite de aplicații.
a) Demonstrarea paralelismului a două drepte, folosind teorema:
Dacă două drepte tăiate de o secantă formează o pereche de unghiuri: alterne interne congruente sau alterne externe congruente sau corespondente congruente sau interne de aceeași parte a secantei suplementare sau externe de aceeași parte a secantei suplementare, atunci ele sunt paralele.
b) Demonstrarea paralelismului folosind teorema referitoare la linia mijlocie într-un triunghi.
c) Demonstrarea paralelismului prin perpendicularitate. Dacă \(a\perp c\) și \(b\perp c\), atunci \(a\|b\).
d) Demonstrarea paralelismului a două drepte folosind rezultatul: dacă două puncte distincte \(A\) și \(B\) sunt situate de aceeași parte a unei drepte \(d\) și la aceeași distanță de dreapta \(d\), atunci dreptele \(AB\) și \(d\) sunt paralele.
e) Demonstrarea paralelismului a două drepte folosind metoda reducerii la absurd.
Probleme rezolvate
a) Demonstrarea paralelismului a două drepte, folosind teorema:
Dacă două drepte tăiate de o secantă formează o pereche de unghiuri: alterne interne congruente, sau alterne externe congruente, sau corespondente congruente, interne de aceeași parte a secantei suplementare sau externe de aceeași parte a secantei suplementare, atunci ele sunt paralele.
Problema 1
În triunghiul \(ABC\), \([AM\) este bisectoarea unghiului \(\angle{A}\)
\((M\in (BC))\). Se prelungește \((AM)\) cu \(ME\) astfel încât \((CE)\equiv (AC)\). Să se arate că dreptele \(AB\) și \(CE\) sunt paralele.
Soluție
(Fig. 10-1)
Din \([AM\) bisectoarea \(\angle{BAC}\) rezultă că \(\angle{BAM}\equiv \angle{CAM}\). Din \((AC)\equiv (EC)\) rezultă că \(\triangle CAE\) este isoscel și atunci \(\angle{CAM}\equiv \angle{CEM}\). Din \(\angle{BAM}\equiv \angle{CAM}\) și \(\angle{CAM}\equiv \angle{CEM}\) obținem că \(\angle{BAM}\equiv \angle{CEM}\) și atunci rezultă că \(AB\|CE\).
Fig. 10.1
b) Demonstrarea paralelismului folosind teorema referitoare la linia mijlocie într-un triunghi.
Problema 2
În triunghiul oarecare \(ABC\) se consideră punctul \(M\), mijlocul lui \([BC]\). Pe semidreapta \((AM\) se ia un punct \(N\) astfel încât \(AM=k\cdot MN\), \(k\in \mathbb{N}^*\). Paralela prin \(N\) la \(BC\) intersectează pe \(AB\) în \(D\). Notăm \(\{P\}=DM\cap AC\). Să se arate că \(NP\|AB\) dacă și numai dacă \(k=2\).
(Adrian Bud)
Soluție
(Fig. 10-4)
i) Fie \(\{R\}=AC\cap DN\). Presupunem \(k=2\) să arătăm că \(NP\|AB\). Fiindcă \(BC\|RD\) și \(M\) este mijlocul lui \(BC\) rezultă că \(N\) este mijlocul lui \(DR\), deci \([DN]\equiv [NR]\). În \(\triangle ADR\), \(AN\) este mediană și din ipoteză \(AM=2MN\), deducem că \(M\) este centrul de greutate al triunghiului \(ADR\). Atunci \([PN]\) este linie mijlocie în \(\triangle RAD\), deci \(PN\|AB\).
ii) Presupunem că \(PN\|AB\) și arătăm că obținem \(k=2\). Din \(NP\|AB\) și \(N\) mijlocul lui \((DR)\) obținem că \(P\) este mijlocul lui \([AR]\), deci \(DP\) este mediană în \(\triangle ADR\). Medianele \(DP\) și \(AN\) fiind concurente în \(M\), rezultă că \(M\) este centrul de greutate al \(\triangle ADR\) și \(AM=2MN\), deci \(k=2\).
Fig. 10.4
c) Demonstrarea paralelismului prin perpendicularitate
Problema 3
Se consideră triunghiul dreptunghic \(ABC\) \((m(\angle{A})=90^\circ)\) și \(D\) simetricul punctului \(B\) față de mediana \(AM\). Arătați că \(DC\|AM\).
Soluție
(Fig. 10-6)
Punctul \(M\) se află pe mediatoarea segmentului \([BD]\), deci \([MB]\equiv [MD]\). Din \[MD=MB=\displaystyle\frac{BC}{2}\] rezultă că triunghiul \(BDC\) este dreptunghic în \(D\), adică \(BD\perp DC\). Din \(BD\perp DC\) și \(AM\perp BD\) rezultă că \(AM\|DC\).
Fig. 10.6
d) Demonstrarea paralelismului a două drepte folosind rezultatul: dacă două puncte distincte \(A\) și \(B\) sunt situate de aceeași parte a unei drepte \(d\) și la aceeași distanță de dreapta \(d\), atunci dreptele \(AB\) și \(d\) sunt paralele.
Problema 4
Bisectoarele unghiurilor triunghiului isoscel \(ABC\) \(((AB)\equiv (AC))\)
se intersectează în \(I\). Perpendiculara în \(A\) pe \(AB\) întâlnește bisectoarea \([BI\) în \(Q\), iar perpendiculara în \(A\) pe \(AC\) întâlnește bisectoarea \([CI\) în \(P\). Să se arate că \(PQ\|BC\).
Soluție
(Fig. 10-10)
Triunghiul \(ABC\) fiind isoscel avem că \(\angle{B}\equiv \angle{C}\), deci și \(\angle{ABQ}\equiv \angle{ACP}\) (\((BQ\) și \((CQ\) sunt bisectoare). Din congruența triunghiurilor dreptunghice \(BAQ\) și \(PAC\)
(C.U.), (\((AB)\equiv (AC)\) și \(\angle{ABQ}\equiv \angle{ACP}\)) rezultă că \((AP)\equiv (AQ)\). Punctul \(P\) fiind pe bisectoarea unghiului \(\angle{ACB}\) este egal depărtat de laturile unghiului adică \(d(P,AC)=d(P,CB)\Leftrightarrow PA=d(P,CB)\). Punctul \(Q\) este pe bisectoarea unghiului \(ABC\) deci \(d(Q,BA)=d(Q,BC)\Leftrightarrow AQ=d(Q,BC)\). Cum \((AP)\equiv (AQ)\) obținem că \(d(P,CB)=d(Q,BC)\) deci punctele \(P\) și \(Q\) sunt situate pe o paralelă la \(BC\), adică \(PQ\|BC\).
Fig. 10.10
e) Demonstrarea paralelismului a două drepte folosind metoda reducerii la absurd
Problema 5
Fie \(I\) punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor interioare ale triunghiului oarecare \(ABC\) și \(D\) mijlocul laturii \((BC)\). Să se demonstreze că \(DI\) nu poate fi paralelă cu nici una dintre laturile triunghiului.
Soluție
(Fig. 10-12)
Fie \(D\) mijlocul lui \((BC)\). Presupunem prin absurd că \(ID\|AB\) atunci
\(m(\angle{DIB})=m(\angle{ABI})\) (ca alterne interne). Dar \(m(\angle{ABI})=m(\angle{DBI})\) și astfel deducem că \(\triangle BID\) este isoscel cu \((ID)\equiv (DB)\), dar cum \((DB)\equiv (DC)\) rezultă că \(\triangle BIC\) este dreptunghic în \(B\). În \(\triangle BIC\) avem atunci
\[m(\angle{IBC})+m(\angle{ICB})=90^\circ
\mbox{ adică }
\displaystyle\frac{1}{2}m(\angle{B})+\displaystyle\frac{1}{2}m(\angle{C})=90^\circ,\]
de unde \(m(\angle{B})+m(\angle{C})=180^\circ\) (absurd). Deci \(ID\) nu este paralel \(AB\). Analog se demonstrează că \(ID\) nu este paralel \(AC\).
Fig. 10.12
Probleme propuse
Problema 1, Problema 2, Problema 3, Problema 4, Problema 5, Problema 6, Problema 7, Problema 8, Problema 9, Problema 10, Problema 11.
