Teorie
Unul din scopurile algebrei elementare este de a-l învăța pe rezolvitor să găsească mai ușor soluția unei probleme a cărei rezolvare aritmetică cere o anumită ingeniozitate. Pentru a rezolva o problemă prin algebră trebuie să exprimăm prin ecuații relațiile dintre mărimile cunoscute și cele necunoscute din conținutul problemei.
A rezolva o problemă înseamnă a determina anumite mărimi, numite necunoscute, atunci când cunoaștem alte mărimi care sunt datele problemei. Rezolvarea unei probleme cu ajutorul algebrei presupune parcurgerea unor etape:
a) alegerea necunoscutelor;
b) realizarea modelului matematic;
c) rezolvarea modelului matematic;
d) discutarea rezultatelor.
A face discuția unei probleme înseamnă a cerceta condițiile ei de posibilitate.
Probleme rezolvate
Problema 1
Doi frați și tatăl lor au împreună \(47\) de ani. Vârsta tatălui este un număr format din două cifre, iar vârstele fiilor sunt prima, respectiv a doua cifră a vârstei tatălui.
a) Arătați că cei doi fii nu sunt gemeni.
b) Ce vârstă are tatăl și ce vârstă are fiecare din fiii săi?
(Viorel Lupșor, Radu Stănică)
Soluție
Fie \(\overline{xy}\) vârsta tatălui, \(x\) vârsta primului fiu și \(y\) vârsta celui de-al doilea fiu. Avem:
\[\overline{xy}+x+y=47\Leftrightarrow
10x+y+x+y=47\Leftrightarrow
11x+2y=47
\quad(1)\]
a) Presupunem \(x=y\). Atunci (1) devine \(13x=47\), relație imposibilă.
(\(x\) este cifră). Deci cei doi fii nu sunt gemeni.
b) Din (1) rezultă \(2y=47-11x\), de unde convine \(x=3\) și atunci \(y=7\). Copiii au 3 ani respectiv 7 ani, iar tatăl 37 ani.
Problema 2
Într-o fabrică lucrează \(1093\) persoane, repartizate la mai multe puncte de lucru. La primul punct de lucru lucrează o persoană, iar la fiecare din următoarele puncte lucrează un număr de persoane egal cu triplul numărului de persoane aflate la punctul de lucru anterior. Aflați câte puncte de lucru există în acea fabrică.
(Grigore Tarța)
Soluție
Dacă \(x\) este numărul de puncte de lucru avem:
\[1+3+3^2+\dots +3^{x-1}=1093.\]
Fie \(S=1+3+3^2+\dots +3^{x-1}\Rightarrow 3S=3+3^2+\dots +3^{x-1}+3^x\).
Din \(3S-S=3^x-1\) obținem \(2S=3^x-1\) sau \(S=\displaystyle\frac{3^x-1}{2}\) atunci \(\displaystyle\frac{3^x-1}{2}=1093\), de unde
\[3^x-1=2186\Leftrightarrow
3^x=2187\Leftrightarrow
3^x=3^7\Leftrightarrow x=7.\]
Problema 3
Fiul și fiica au suma vârstelor cu 49 ani mai mică decât suma vârstelor părinților lor. Băiatul este cu doi ani mai mare decât fata, iar soțul cu un an mai mare decât soția. Dacă toți au împreună \(121\) ani, aflați câți ani are fiecare membru al familiei.
(Letiția Popazu)
Soluție
Dacă \(x\) este vârsta fetei, atunci \(x+2\) ani are băiatul. Dacă \(y\) este vârsta mamei, atunci \(y+1\) ani are tatăl. Fiindcă suma vârstelor membrilor familiei este 121 ani putem scrie:
\[x+(x+2)+y+(y+1)=121\Leftrightarrow
2x+2y=118\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
x+y=59
\quad(1)\]
Diferența dintre suma vârstelor părinților și cea a copiilor este 49 ani, atunci
\[(y+1+y)-(x+x+2)=49\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
2y+1-(2x+2)=49\Leftrightarrow
y-x=25
\quad(2)\]
Adunând membru cu membru (1) și (2) obținem: \(2y=84\), de unde \(y=42\), iar din (1) obținem \(x=59-42=17\).
În concluzie fiica are 18 ani, fiul 20 ani, mama 41 ani și tatăl 42 ani.
Problema 4
Într-un bloc cu două etaje, sub etajul doi locuiesc \(42\) persoane, deasupra parterului \(48\) persoane și la etajul întâi atâtea persoane câte locuiesc deasupra și dedesubtul lui în total. Câte persoane locuiesc în bloc, respectiv pe fiecare nivel în parte?
Soluție
Fie \(x,y,z\) numărul persoanelor care locuiesc la parter, etajul I, respectiv etajul II. Avem relațiile:
\[x+y=42
\quad(1)\]
\[y+z=48
\quad(2)\]
\[y=x+z
\quad(3)\]
Adunând membru cu membru relațiile (1), (2) și (3) obținem:
\[(x+y)+(y+z)+y=42+48+(x+z)\Leftrightarrow\]
\[3y+(x+z)=90+(x+z)\Leftrightarrow
3y=90\Leftrightarrow y=30,\]
iar din (1) obținem \(x=12\) și din (2) \(z=18\). Deci la parter stau 12 persoane, la etajul I, 30 persoane, iar la etajul II, 18 persoane.
Problema 5
Toți elevii clasei a VII-a au participat la olimpiadele școlare astfel: \(18\) elevi au participat la matematică sau fizică, \(12\) la fizică sau chimie, \(10\) la chimie sau limba română și \(14\) la limba română sau limba engleză. Știind că un elev a participat la o singură olimpiadă și că la fizică
și engleză au participat același număr de elevi, aflați câți elevi sunt în clasa a VII-a și câți elevi au participat la fiecare disciplină.
Soluție
Fie \(a\) numărul participanților la matematică, \(b\) numărul participanților la fizică, \(c\) numărul participanților la chimie, \(b\) numărul participanților la engleză, \(u\) numărul participanților la limba engleză. Avem relațiile:
\[a+b=18,\quad
b+c=12,\quad
c+u=10,\quad
u+b=14.\]
Adunând membru cu membru ultimele trei relații obținem:
\[2(b+c+u)=36
\quad\mbox{sau}\quad
b+c+u=18.\]
Fiindcă \(b+c=12\) obținem că \(u=6\). Atunci din ultimele două relații
\[c=10-u=4
\quad\mbox{și}\quad
b=14-u=8,\]
iar din prima relație \(a+8=18\), rezultă \(a=10\). Numărul elevilor din clasă este:
\[10+8+8+4+6=36.\]
Probleme propuse
Problema 1, Problema 2, Problema 3, Problema 4, Problema 5, Problema 6, Problema 7, Problema 8.
