Teorie
O pereche ordonată de numere întregi de forma \(\displaystyle\frac{a}{b}\) cu \(b\ne 0\) se numește fracție.
Două fracții \(\displaystyle\frac{a}{b}\) și \(\displaystyle\frac{c}{d}\) \((b,d\ne 0)\) sunt echivalente, și scriem \(\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{c}{d}\), dacă \(a\cdot d=b\cdot c\).
Mulțimea fracțiilor echivalente cu o fracție dată se numește număr rațional.
Mulțimea numerelor raționale se notează cu \(\mathbb{Q}\). Deci
\[\mathbb{Q}=\left\{\displaystyle\frac{a}{b}\mid a,b\in \mathbb{Z},\ b\ne 0\right\}.\]
O fracție se numește ireductibilă dacă \((a,b)=1\).
Propoziția 1
O fracție ireductibilă se transformă într-o fracție zecimală periodică simplă dacă și numai dacă descompunerea în factori primi a numitorului acesteia nu conține nici factorul 2 nici factorul 5.
Propoziția 2
O fracție ireductibilă se scrie ca fracție zecimală periodică mixtă dacă descompunerea în factori primi a numitorului acesteia conține cel puțin unul din factorii 2 sau 5 dar și factori diferiți de aceștia (partea neperiodică având “lungimea” egală cu cel mai mare dintre exponenții lui 2 și 5).
Probleme rezolvate
Problema 1
Să se determine perechile de numere naturale \((x,y)\) pentru care fracția \(\displaystyle\frac{15}{(x+1)(y-4)}\) este echiunitară.
Soluție
Numitorul este diferit de zero. Din
\[\displaystyle\frac{15}{(x+1)(y-4)}=1\Rightarrow (x+1)(y-4)=15\\
(1\cdot 15=3\cdot 5=5\cdot 3=15\cdot 1)\]
Avem cazurile:
1) \((x+1)(y-4)=1\cdot 15\Rightarrow x+1=1\) și \(y-4=15\Rightarrow x=0\) și \(y=19\).
2) \((x+1)(y-4)=3\cdot 5\Rightarrow x+1=3\) și \(y-4=5\Rightarrow x=2\) și \(y=9\).
3) \((x+1)(y-4)=5\cdot 3\Rightarrow x+1=5\) și \(y-4=3\Rightarrow x=4\) și \(y=7\).
4) \((x+1)(y-4)=15\cdot 1\Rightarrow x+1=15\) și \(y-4=1\Rightarrow x=14\) și \(y=5\).
Deci \((x,y)\in\{(0,19),(2,9),(4,7),(14,5)\}\).
Problema 2
Arătați că fracția \(\displaystyle\frac{a\cdot (-1)^n-b\cdot (-1)^{n+1}}{b\cdot (-1)^n-a\cdot (-1)^{n+1}}\) este echiunitară pentru orice \(n\in \mathbb{N}\) și \(a,b\in \mathbb{Z}^*\), \(a\ne -b\).
Soluție
1) Dacă \(n\) este par, adică \(n=2k\) rezultă
\[\displaystyle\frac{a(-1)^{2k}-b(-1)^{2k+1}}{b(-1)^{2k}-a(-1)^{2k+1}}=\displaystyle\frac{a+b}{b+a}=1\in \mathbb{N}\quad (a+b\ne 0)\]
2) Dacă \(n\) este impar, adică \(n=2k+1\) rezultă
\[\displaystyle\frac{a(-1)^{2k+1}-b(-1)^{2k+2}}{b(-1)^{2k+1}-a(-1)^{2k+2}}=\displaystyle\frac{-a-b}{-b-a}=1\in \mathbb{N}.\]
Problema 3
Să se determine cifrele \(x\) și \(y\) astfel încât fracția \(\displaystyle\frac{\overline{4xy}+172}{\overline{5yx}}\) să fie subunitară.
Soluție
\(\displaystyle\frac{\overline{4xy}+172}{\overline{5yx}}<1\Leftrightarrow
\overline{4xy}+172<\overline{5yx}\Leftrightarrow\)
\[4\cdot 10^2+x\cdot 10+y+172<5\cdot 10^2+y\cdot 10+x\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
9x+72<9y\Leftrightarrow x+8<y.\]
Fiindcă \(x\) și \(y\) sunt cifre \(\Rightarrow y=9\) și \(x=0\). Fracția devine: \(\displaystyle\frac{409+172}{590}=\displaystyle\frac{581}{590}(<1)\).
Problema 4
Pentru orice \(n\in \mathbb{N}^*\) se consideră numerele:
\[A=(n+1)^n+n^{n+1}
\quad\mbox{Și}\quad
B=(n+1)^{n+1}-n^n.\]
Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției: “Fracția \(\displaystyle\frac{A}{B}\) este subunitară.”
(Ionel Tudor)
Soluție
\[B-A=(n+1)^{n+1}-n^n-(n+1)^n-n^{n+1}=\\=(n+1)^n(n+1-1)-n^n(1+n)=(n+1)^n\cdot n-n^n(1+n)=\\=(n+1)\cdot n[(n+1)^{n-1}-n^{n-1}]\]
care este pozitiv deci \(B-A>0\Rightarrow B>A\Rightarrow \displaystyle\frac{A}{B}<1\) deci fracția este subunitară. Atunci propoziția este adevărată.
Problema 5
Să se determine numerele naturale \(n\), diferite de zero, pentru care fracțiile \(\displaystyle\frac{19}{1692}\) și \(\displaystyle\frac{n+1}{5n^2+4n}\) sunt echivalente.
(Vasile Șerdean)
Soluție
Fracția \(\displaystyle\frac{19}{1692}\) este ireductibilă, arătăm că și fracția \(\displaystyle\frac{n+1}{5n^2+4n}\) este ireductibilă. Din
\[d=(n+1,5n^2+4n)\Rightarrow d|(n+1)
\mbox{ și }\\
d|(5n^2+4n)\Rightarrow d|5n(n+1)-(5n^2+4n)\Rightarrow d|n.\]
Din \(d|n+1\) și \(d|n\Rightarrow d|n+1-n\Rightarrow d|1\). Deci \(\displaystyle\frac{n+1}{5n^2+4n}\) este ireductibilă. Atunci din
\[\displaystyle\frac{n+1}{5n^2+4n}=\displaystyle\frac{19}{1692}\Rightarrow
n+1=19
\mbox{ și }
5n^2+4n=1692\]
și obținem \(n=18\), valoare ce verifică și relația \(5n^2+4n=1692\).
Probleme propuse
Problema 1, Problema 2, Problema 3, Problema 4, Problema 5, Problema 6, Problema 7, Problema 8, Problema 9, Problema 10.
