Votul nostru:
Teorie
Vom face la început pentru ușurința expunerii câteva convenții. De asemenea vom reaminti câteva teoreme utile în redactarea materialului de față.
Fie \(K\) un punct aparținând segmentului \([AB]\).
Vom nota: \(\alpha _{AB}^K=\displaystyle\frac{AK}{KB}\) iar atunci când între \(A\) și \(B\) nu mai avem fixate și alte puncte vom nota pur și simplu: \(\alpha _{AB}=\displaystyle\frac{AK}{KB}\).
Observație
Este evident că \(\alpha _{AB}^K\cdot \alpha _{BA}^K=1\). Cu aceste notații putem să reamintim:
Teorema lui Ceva
Fie \(ABC\) un triunghi și \(A_1\in [BC]\), \(B_1\in [AC]\), \(C_1\in [AB]\).
Dreptele \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) sunt trei drepte concurente dacă și numai dacă:
\[\alpha _{AB}\cdot \alpha _{BC}\cdot \alpha _{CA}=1
\quad(1)\]
Observație
Se observă că relația (1) este echivalentă cu relația:
\[\alpha _{AB}\cdot \alpha _{BC}=\alpha _{AC}\]
ceea ce poate constitui o “regula” de înmulțire a acestui tip de rapoarte.
În teorema lui Ceva am considerat doar cazul când toate punctele sunt în interiorul laturilor însă rezultatele care urmează nu vor fi influențate de această condiție.
Vom mai reaminti și teorema lui Van Aubel:
Teorema Van Aubel
Fie \(ABC\) un triunghi și \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) trei drepte concurente în punctul \(K\), conform cu figura 1.
În aceste condiții:
\[\alpha _{AA_1}=\alpha _{AB}+\alpha _{AC}.\]
Vom trece acum la enunțarea primei teoreme de concurență:
Teorema 1
Fie \(ABCD\) un patrulater. Dacă \(M, N, P, Q, R, S\) sunt puncte respectiv pe segmentele: \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\), \([DA]\), \([AC]\), \([BD]\) astfel încât cevienele corespunzătoare din triunghiurile \(ABC\), \(BCD\) și \(CDA\) sunt concurente atunci și cevienele din triunghiul \(DAB\) sunt concurente.
Demonstrație
Cu notațiile anterioare vom scrie că:
\[\left\{\begin{array}{lll}
\alpha _{AB}\cdot \alpha _{BC}\cdot \alpha _{CA}=1 \\
\alpha _{BC}\cdot \alpha _{CD}\cdot \alpha _{DB}=1 \\
\alpha _{CD}\cdot \alpha _{DA}\cdot \alpha _{AC}=1
\end{array}\right.\]
și va trebui să demonstrăm că:
\[\alpha _{DA}\cdot \alpha _{AB}\cdot \alpha _{BD}=1.\]
Din relațiile anterioare rezultă exprimările:
\[\alpha _{DA}=\alpha _{DC}\cdot \alpha _{CA},\
\alpha _{AB}=\alpha _{CB}\cdot \alpha _{AC},\
\alpha _{BD}=\alpha _{BC}\cdot \alpha _{CD}\]
care conduc imediat la rezultat.
Teorema 2
Fie \(ABCD\) un patrulater. Dacă \(M, N, P, Q, R, S\) sunt puncte respectiv pe segmentele: \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\), \([DA]\), \([AC]\), \([BD]\) astfel încât cevienele corespunzătoare din triunghiurile \(ABC\), \(BCD\) și \(CDA\) și \(DAB\) sunt concurente respectiv în punctele: \(K_D\), \(K_A\), \(K_B\), \(K_C\) atunci dreptele \(AK_A\), \(BK_B\), \(CK_C\), \(DK_D\) sunt concurente.
Demonstrație
Am considerat o figură simplificată, intenția fiind aceea de a arăta că segmentul \([AK_A]\) este tăiat de segmentele de la vârfurile vecine (\(DK_D\) și \(BK_B\)) în același raport fapt care ne conduce la concluzia că oricare trei din cele 4 segmente sunt concurente și de aici concluzia că toate cele 4 drepte sunt concurente.
Cu notațiile anterioare și cele din figura 3 vom avea conform cu teorema lui Van Aubel:
\[\alpha _{AN}=\alpha _{AB}+\alpha _{AC}
\quad\mbox{și}\quad
\alpha _{DN}=\alpha _{DC}+\alpha _{DB}.\]
Referindu-ne strict la triunghiul \(AND\) vom putea scrie:
\[\alpha _{AK_A}=\alpha _{AN}+\alpha _{AD}
=\alpha _{AN}+\alpha _{AN}\cdot \alpha _{ND}=\\
=\alpha _{AN}+\displaystyle\frac{\alpha _{AN}}{\alpha _{DN}}
=\alpha _{AN}\left(\displaystyle\frac{1+\alpha _{DN}}{\alpha _{DN}}\right)\]
sau
\[\alpha _{AK_A}=\displaystyle\frac{(\alpha _{AB}+\alpha _{AC})(1+\alpha _{DC}+\alpha _{DB})}
{\alpha _{DC}+\alpha _{DB}}\]
\[=\displaystyle\frac{(\alpha _{AD}\cdot \alpha _{DB}+\alpha _{AD}\cdot \alpha _{DC})
(1+\alpha _{DC}+\alpha _{DB})}{\alpha _{DC}+\alpha _{DB}}=\\
=\alpha _{AD}(1+\alpha _{DC}+\alpha _{DB})\]
sau
\[\alpha _{AK_A}=\alpha _{AD}+\alpha _{AD}\cdot \alpha _{DC}+\alpha _{AD}\cdot \alpha _{DB}=\\
=\alpha _{AD}+\alpha _{AC}+\alpha _{AB}
\quad(2)\]
Relația precedentă ne spune că segmentul \(DK_D\) taie segmentul \(AK_A\) într-un raport egal cu suma rapoartelor care pleacă din vârful \(A\), proprietate pe care o va avea evident și segmentul \(BK_B\) și deci segmentele \(AK_A\), \(BK_B\) și \(DK_D\) sunt concurente și conform cu observațiile de la început rezultă concluzia.
Observație
Relația: \(\alpha _{AK_A}=\alpha _{AD}+\alpha _{AC}+\alpha _{AB}\) ar putea fi privită ca o relație de tip Van Aubel pentru patrulatere.
Teorema precedentă este valabilă și în spațiu, adică se poate spune că:
Propoziție
Dacă \(M, N, P, Q, R, S\) sunt 6 puncte respectiv pe laturile: \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\), \([DA]\), \([AC]\), \([BD]\) ale unui tetraedru \(ABCD\) astfel încât cevienele corespunzătoare din fețele \(ABC\), \(BCD\) și \(CDA\) și \(DAB\) sunt concurente respectiv în punctele: \(K_D\), \(K_A\), \(K_B\), \(K_C\) atunci dreptele \(AK_A\), \(BK_B\), \(CK_C\), \(DK_D\)
sunt concurente.
Demonstrația în spațiu este foarte simplă pentru că în spațiu oricare două din cele 4 drepte sunt concurente și oricare 3 sunt necoplanare de unde rezultă că toate 4 vor fi concurente. Rămâne însă de interes relația Van Aubel pentru tetraedru care are o exprimare asemănătoare cu relația (2).
Votul tău:
[Total: 2 Average: 3.5/5]
Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!
