Teorie
Teorema 1. (Teorema fundamentală a aritmeticii)
Orice număr compus se scrie ca produs de numere prime, nu neapărat distincte. Astfel orice număr natural compus are forma
\[n=p_1^{\alpha _1}\cdot p_2^{\alpha _2}\cdot \ldots \cdot p_n^{\alpha _n}\]
unde \(p_1,p_2,\ldots ,p_n\) sunt numere prime distincte, iar \(\alpha _1,\alpha _2,\ldots ,\alpha _n\in \mathbb{N}^*\).
Teorema 2
Numărul divizorilor naturali ai numărului
\[n=p_1^{\alpha _1}\cdot p_2^{\alpha _2}\cdot \ldots \cdot p_n^{\alpha _n}\]
este \((\alpha _1+1)(\alpha _2+1)\ldots (\alpha _n+1)\).
Teorema 3
Orice număr natural pătrat perfect are un număr impar de divizori. Astfel, condiția necesară și suficientă ca un număr să nu fie pătrat perfect este ca acel număr să aibă un număr par de divizori.
Lemă
Dacă \(d_1,d_2,\ldots ,d_k\) sunt toți divizorii naturali ai numărului \(n\), atunci avem relația
\[(d_1\cdot d_2\cdot \ldots \cdot d_k)^2=n^k.\]
Probleme rezolvate
Problema 1
Arătați că numerele naturale care au exact 3 divizori sunt pătrate perfecte.
Soluție
Fie
\[n=p_1^{\alpha _1}\cdot p_2^{\alpha _2}\cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha _k},\]
unde \(p_1,p_2,\ldots ,p_k\) sunt numere prime distincte, \(k\in \mathbb{N}^{*}\), \(\alpha _1,\alpha _2,\ldots ,\alpha _k\in \mathbb{N}^*\).
Numărul divizorilor lui \(n\) este \((\alpha _1+1)(\alpha _2+1)\ldots (\alpha _k+1)\)
\[\Rightarrow (\alpha _1+1)(\alpha _2+1)\ldots (\alpha _k+1)=3
\Rightarrow\left\{\begin{array}{lll}
k=1\\
\alpha _1+1=3\Rightarrow \alpha _1=2
\end{array}\right.
\\\Rightarrow n=p_1^2\]
Problema 2
Un număr natural se numește superb dacă este multiplul numărului divizorilor săi (de exemplu 12 este superb deoarece are 6 divizori și 12 este multiplu de 6).
a) Aflați cel mai mare număr superb de 2 cifre.
b) Demonstrați că nu există numere superbe care să aibă
ultima cifră 3.
Soluție
a) Prin verificare directă se arată că cel mai mare număr superb de 2 cifre este 96.
b) Fie \(x\) un număr natural cu \(U(x)=3\) \(\Rightarrow x\) este impar.
Deoarece \(U(x)=3\Rightarrow x\) nu este pătrat perfect \(\Rightarrow x\) are un număr par de divizori. Astfel un număr impar este multiplul unui număr par (fals) \(\Rightarrow x\) nu este superb.
Problema 3
Notăm cu \(d(n)\) numărul divizorilor lui \(n\), \(n\in \mathbb{N}^*\).
a) Calculați \(d(2016)\).
b) Arătați că \(d(1)+d(2)+\ldots +d(2016)\) este număr par.
(Ion Ciolac)
Soluție
a) \(2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7\Rightarrow d(2016)=(5+1)(2+1)(1+1)=36\).
b) Folosim faptul că:
– un număr natural pătrat perfect are un număr impar de divizori
– un număr natural ce nu este pătrat perfect are un număr par de divizori.
De la 1 la 2016 sunt 44 pătrate perfecte, deci suma divizorilor lor este număr par. Suma divizorilor celorlalte 1972 numere este tot un număr par.
\(\Rightarrow d(1)+d(2)+\ldots +d(2016)\) este număr par.
Problema 4
Determinați \(A\in \mathbb{N}\) care are produsul divizorilor săi naturali egal cu \(7^{2033136}\).
Soluție
Divizorii lui \(A\) sunt \(1, 7, 7^2,7^3,\ldots ,7^n\).
Produsul divizorilor lui \(A\) este
\[1\cdot 7\cdot 7^2\cdot \ldots \cdot 7^n
=7^{1+2+\ldots +n}=7^\frac{n(n+1)}{2}\]
\[\Rightarrow \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}=2033136\Rightarrow n=2016.\]
Problema 5
Determinați numerele \(x\in \mathbb{N}\) care au produsul divizorilor săi naturali egal cu \(2017^n\), unde \(n\) este un număr prim.
Soluție
Deoarece 2017 este un număr prim, rezultă că divizorii lui \(x\) sunt
\[1,2017,2017^2,\ldots ,2017^k,\ k\in \mathbb{N}^*\]
Atunci produsul divizorilor lui \(x\) este egal cu
\[1\cdot 2017\cdot 2017^2\cdot 2017^3\cdot \ldots \cdot 2017^k\]
adică
\[2017^{1+2+3+\ldots +k}=2017^\frac{k(k+1)}{2}\]
Condiția problemei devine
\[\displaystyle\frac{k(k+1)}{2}=n\Leftrightarrow k(k+1)=2n\Rightarrow\]
\[\left.\begin{array}{r}
2n=\mbox{produsul a două numere consecutive}\\
n – \mbox{prim}
\end{array}\right\}\\
\Rightarrow n=3
\Rightarrow x=2017^3\]
Problema 6
Aflați cel mai mic număr natural divizibil cu 225 care are 12 divizori naturali.
Soluție
Fie \(N=p_1^{\alpha _1}\cdot p_2^{\alpha _2}\cdot \ldots \cdot p_n^{\alpha _n}\) numărul căutat cu \(p_1,p_2,\ldots ,p_n\) numere prime și \(\alpha _1,\alpha _2,\ldots ,\alpha _n\in \mathbb{N}^*\).
Numărul divizorilor lui \(N\) este \((\alpha _1+1)(\alpha _2+1)\ldots (\alpha _n+1)=12\).
Deoarece
\[12=
\left\{\begin{array}{lll}
1\cdot 12 & \Rightarrow N=p^{11}\\
2\cdot 6 & \Rightarrow N=p_1^2\cdot p_2^5\\
3\cdot 4 & \Rightarrow N=p_1^2\cdot p_2^3\\
2\cdot 2\cdot 3 & \Rightarrow N=p_1\cdot p_2\cdot p_3^2
\end{array}\right.\]
Condiția \(N\vdots 225\) impune \(N=3^2\cdot 5^2\cdot k\), \(k\in \mathbb{N}^*\).
Singurul caz convenabil este \(N=p_1^2\cdot p_2^3\) cu variantele
\[N=3^2\cdot 5^3=1125\]
sau
\[N=3^3\cdot 5^2=675\]
Numărul căutat este \(N=675\).
Problema 7
Aflați cel mai mic număr natural divizibil cu 36 care are 18 divizori naturali.
Soluție
Fie \(N=p_1^{\alpha _1}\cdot p_2^{\alpha _2}\cdot \ldots \cdot p_n^{\alpha _n}\) numărul căutat cu \(p_1,p_2,\ldots ,p_n\) numere prime și \(\alpha _1,\alpha _2,\ldots ,\alpha _n\in \mathbb{N}\).
Numărul divizorilor lui \(N\) este \((\alpha _1+1)(\alpha _2+1)\ldots (\alpha _n+1)=18\).
Deoarece
\[18=
\left\{\begin{array}{lll}
1\cdot 18 & \Rightarrow N=p^{17}\\
2\cdot 9 & \Rightarrow N=p_1\cdot p_2^8\\
3\cdot 6 & N=p_1^2\cdot p_2^5\\
2\cdot 3\cdot 3 & \Rightarrow N=p_1\cdot p_2^2\cdot p_3^2
\end{array}\right.\]
Condiția \(N\vdots 36\) impune \(N=2^2\cdot 3^2\cdot k\), \(k\in \mathbb{N}^*\).
Avem cazurile
\[N=p_1^2\cdot p_2^5
\mbox{ cu variantele }
\left\{\begin{array}{lll}
N=2^2\cdot 3^5=972\\
N=2^5\cdot 3^2=288
\end{array}\right.\]
\[N=p_1\cdot p_2^2\cdot p_3^2=2^2\cdot 3^2\cdot k=36\cdot k\]
Deoarece \(N\) este cel mai mic număr posibil, alegem \(k=5\Rightarrow N=36\cdot 5=180\).
Dintre toate numerele obținute, cel mai mic este \(N=180\).
Problema 8
Fie numărul \(N=3^x\cdot 5^y\), \(x,y\in \mathbb{N}^*\). Aflați \(N\) știind că numărul \(5N\) are cu 5 divizori mai mulți decât \(N\) și cu 3 divizori mai puțini decât numărul \(3N\).
Soluție
Deoarece
\[\left\{\begin{array}{lll}
N=3^x\cdot 5^y & \Rightarrow\mbox{numărul divizorilor lui } N\mbox{ este } (x+1)(y+1)\\
5N=3^x\cdot 5^{y+1} & \Rightarrow\mbox{numărul divizorilor lui } 5N\mbox{ este } (x+1)(y+2)\\
3N=3^{x+1}\cdot 5^y & \Rightarrow\mbox{numărul divizorilor lui } 3N\mbox{ este } (x+2)(y+1)
\end{array}\right.\]
Condițiile din enunț devin
\[(x+1)(y+2)=(x+1)(y+1)+5\]
\[(x+1)(y+2)=(x+2)(y+1)-3\]
După desfacerea parantezelor se obține
\[xy+2x+y+2=xy+x+y+1+5\]
\[x=4\]
respectiv
\[xy+2x+y+2=xy+x+2y+2-3\]
\[x=y-3\]
\[y=7\]
\[\Rightarrow N=3^4\cdot 5^7\]
Problema 9
Fie numărul \(N=2^x\cdot 5^y\), \(x,y\in \mathbb{N}^*\), care are 48 divizori. Aflați \(N\) știind că numărul divizorilor lui \(25N\) este egal cu media aritmetică dintre numărul divizorilor lui \(N\) și numărul divizorilor lui \(8N\).
Soluție
Deoarece
\[\left\{\begin{array}{lll}
N=2^x\cdot 5^y & \Rightarrow\mbox{numărul divizorilor lui } N\mbox{ este } (x+1)(y+1)\\
25N=2^x\cdot 5^{y+2} & \Rightarrow\mbox{numărul divizorilor lui } 25N\mbox{ este } (x+1)(y+3)\\
8N=2^{x+3}\cdot 5^y & \Rightarrow\mbox{numărul divizorilor lui } 8N\mbox{ este } (x+4)(y+1)
\end{array}\right.\]
Condițiile din enunț devin
\[(x+1)(y+1)=48
\quad(1)\]
\[(x+1)(y+3)=\displaystyle\frac{(x+1)(y+1)+(x+4)(y+1)}{2}
\quad(2)\]
Relația (2) devine după desfacerea parantezelor și reducerea termenilor asemenea
\[4(x+1)=3(y+1)\]
Relația (1) devine
\[4(x+1)(y+1)=4\cdot 48\]
\[3(y+1)(y+1)=4\cdot 48\]
\[3(y+1)^2=4\cdot 48\mid :3\]
\[(y+1)^2=4\cdot 16=64\]
\[\Rightarrow y+1=8\Rightarrow y=7\]
și apoi \(x=5\)
\(\Rightarrow N=2^5\cdot 3^7\).
Problema 10
Fie \(n_1,n_2,n_3\) trei numere naturale diferite de 0 și 1. Să se arate că dacă cei mai mici divizori proprii ai lui \(n_1,n_2,n_3\) sunt respectiv numerele naturale \(m_1,m_2,m_3\), atunci numărul tuturor divizorilor (naturali) ai produselor \(m_1\cdot m_2\cdot m_3\) este un număr ce aparține mulțimii \(\{4,6,8\}\).
Soluție
Cel mai mic divizor propriu al unui număr natural este un număr prim. Astfel
\[m_1\cdot m_2\cdot m_3=
\left\{\begin{array}{lll}
p^3\\
p^2\cdot q\\
p\cdot q\cdot r
\end{array}\right.
\mbox{ cu } p,q,r\mbox{ numere prime}\]
Numărul divizorilor lui
\[\left\{\begin{array}{lll}
m_1\cdot m_2\cdot m_3=p^3 & \mbox{este} & 3+1=4\\
m_1\cdot m_2\cdot m_3=p_2\cdot q & \mbox{este} & (2+1)(1+1)=3\cdot 2=6\\
m_1\cdot m_2\cdot m_3=p\cdot q\cdot r & \mbox{este} & (1+1)(1+1)(1+1)=2\cdot 2\cdot 2=8
\end{array}\right.\]
Problema 11
Fie \(a_1,a_2,\ldots ,a_{2013}\) numere naturale nenule. Arătați că numărul
\[A=2014^{(a_1+a_2)(a_2+a_3)\ldots (a_{2013}+a_1)-6}\]
are cel puțin 3 divizori diferiți de 1.
Soluție
Deoarece \(A\in \mathbb{N}\) și \(2014=2\cdot 19\cdot 53\) cu \((2,19,53)=1\)
\[\Rightarrow A=2^{p-6}\cdot 19^{p-6}\cdot 53^{p-6},\]
unde \(p=(a_1+a_2)(a_2+a_3)\ldots (a_{2013}+a_1)\).
Astfel
\[\begin{array}{lll}
A\vdots 2,\ A\vdots 19,\ A\vdots 53\ \Rightarrow
& A\vdots 2\cdot 19 & \Rightarrow A\vdots 2\cdot 19\cdot 53\\
& A\vdots 2\cdot 53\\
& A\vdots 19\cdot 53
\end{array}\]
Deoarece
\[\begin{array}{ll}
p-6>2013-6>0\ \Rightarrow
& 2^{p-6}>1\\
19^{p-6}>1\\
53^{p-6}>1
\end{array}\]
\(\Rightarrow A\) are cel puțin 3 divizori diferiți de 1.
Problema 12
Determinați numerele naturale care au proprietatea că admit exact 8 divizori pozitivi, dintre care 3 sunt numere prime de forma \(a\), \(\overline{bc}\) și \(\overline{cb}\) și \(a+\overline{bc}+\overline{cb}\) este pătrat perfect, unde \(a,b,c\) sunt cifre cu \(b<c\).
Soluție
Notăm cu \(x\) un număr de tipul celui din enunț.
\[\left.\begin{array}{lll}
x\mbox{ are exact 8 divizori}\\
a,\overline{bc},\overline{cb}\mbox{ divizori}
\end{array}\right\}
\Rightarrow\mbox{divizorii lui } x\mbox{ sunt }\\
\begin{array}[t]{l}
1,a,\overline{bc},\overline{cb},a\cdot \overline{bc},a\cdot \overline{cb},\\
\overline{bc}\cdot \overline{bc},
a\cdot \overline{bc}\cdot \overline{cb}
\end{array}\]
Deoarece \(\overline{bc}\) și \(\overline{cb}\) sunt numere prime distincte cu \(b<c\)
\[\Rightarrow \overline{bc}\in \{13,17,37,79\}\]
Din
\[\left.\begin{array}{lll}
a+\overline{bc}+\overline{cb}\mbox{ pătrat perfect}\\
a\mbox{ număr prim}
\end{array}\right\}
\Rightarrow a=5,\ \overline{bc}=13,\ \overline{cb}=31\\
\Rightarrow x=2015\]
Problema 13
Pentru un număr natural \(n\) notăm \(P_n\) produsul divizorilor naturali ai lui \(n\). Determinați \(n\) cu proprietatea \(P_n=6^{1575}\).
Soluție
\(P_n=6^{1575}=2^{1575}\cdot 3^{1575}\)
\(\Rightarrow n=2^x\cdot 3^y\) cu \(x,y\in \mathbb{N}^*\)
\begin{align*}
P_n
& =1\cdot 2\cdot 2^2\cdot \ldots \cdot 2^x\cdot 3\cdot 3^1\cdot \ldots \cdot 3^y
\cdot (2\cdot 3)\cdot (2\cdot 3^2)\cdot \ldots \cdot (2\cdot 3^y)\\
& \cdot (2^2\cdot 3)\cdot (2^2\cdot 3^2)\cdot \ldots \cdot (2^x\cdot 3^y)\\
& =2^{(1+2+\ldots +x)(y+1)}\cdot 3^{(1+2+\ldots +y)(x+1)}
=2^\frac{x(x+1)(y+1)}{2}\cdot 3^\frac{y(y+1)(x+1)}{2}
\end{align*}
\[\Rightarrow \displaystyle\frac{x(x+1)(y+1)}{2}=\displaystyle\frac{y(y+1)(x+1)}{2}=1575\]
\[\Rightarrow x=y\mbox{ și }
\displaystyle\frac{x(x+1)^2}{2}=1575
\Rightarrow x(x+1)^2=3150=14\cdot 15^2\]
\[\Rightarrow x=y=14
\Rightarrow n=2^{14}\cdot 3^{14}=6^{14}\]
Problema 14
Pentru un număr natural \(n\) notăm \(P_n\) produsul divizorilor naturali ai lui \(n\). Determinați \(n\) știind că \(P_n=2^{18}\cdot 3^{12}\).
Soluție
Deoarece \(P_n=2^{36}\cdot 3^{24}\Rightarrow n=2^x\cdot 3^y\) cu \(x,y\in \mathbb{N}^*\).
\[
P_n=1\cdot 2\cdot 2^2\cdot \ldots \cdot 2^x\cdot (2\cdot 3)\cdot (2^2\cdot 3)
\cdot \ldots \cdot (2^x\cdot 3)\cdot \ldots\\\ldots \cdot (2^x\cdot 3^y)
\cdot 3\cdot 3^2\cdot \ldots \cdot 3^y\\=2^{1+2+\ldots +x}\cdot (2^{1+2+\ldots +x}\cdot 3^x)\cdot \ldots \\ \ldots \cdot
2^{(1+2+\ldots +x)y}\cdot 3^x\cdot 3^{1+2+\ldots +y}\\
=2^{(1+2+\ldots +x)(1+y)}\cdot 3^{(1+x)(1+2+\ldots +y)}\\
=2^\frac{x(x+1)(y+1)}{2}\cdot 3^\frac{y(x+1)(y+1)}{2}
\]
Avem egalitățile \(\displaystyle\frac{x(x+1)(y+1)}{2}=18\) respectiv \(\displaystyle\frac{y(x+1)(y+1)}{2}=12\), adică
\[x(x+1)(y+1)=36
\mbox{ și }
y(x+1)(y+1)=24\]
Împărțind relațiile se obține
\[\displaystyle\frac{x}{y}=\displaystyle\frac{36}{24}
\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{3y}{2}\]
Astfel relația \(y(x+1)(y+1)=24\) devine
\[y\left(\displaystyle\frac{3y}{2}+1\right)(y+1)=24
\mbox{ adică }
y(y+1)(3y+2)=48\]
cu soluția \(y=2\) și de aici \(x=3\). Numărul \(n=2^3\cdot 3^2\).
Problema 15
Să se arate că pătratul produsului tuturor divizorilor naturali ai numărului 2016 este \(2016^{36}\).
Soluție
Deoarece \(2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7\) rezultă că 2016 are \((5+1)(2+1)(1+1)=36\) divizori naturali.
Fie \(d_1,d_2,\ldots ,d_{36}\) divizorii distincți ai lui 2016 ordonați
crescător. Astfel și numerele
\(\displaystyle\frac{2016}{d_1},\displaystyle\frac{2016}{d_2},\ldots ,\displaystyle\frac{2016}{d_{36}}\)
sunt divizorii distincți ai lui 2016 ordonați descrescător.
Pătratul produsului lor este
\[(d_1\cdot d_2\cdot \ldots \cdot d_{36})^2
=d_1\cdot d_2\cdot \ldots \cdot d_{36}\cdot\\\cdot
\displaystyle\frac{2016}{d_1}\cdot \displaystyle\frac{2016}{d_2}\cdot \ldots \cdot \displaystyle\frac{2016}{d_{36}}
=2016^{36}\]
Generalizare
\(2016\to N=d_1^{k_1}\cdot d_2^{k_2}\cdot \ldots \cdot d_n^{k_n}\)
Problema 16
Fie \(n\) și \(k\) numere naturale mai mici ca 2. Vom spune că \(n\) este “atras” de \(k\) dacă sunt îndeplinite condițiile:
1) \(n\) este divizibil cu \(k\) și are \(k-1\) divizori;
2) suma divizorilor lui \(n\) este divizibilă cu \(k\) dar nu este divizibilă cu \(k+1\).
Aflați cel mai mic număr \(n\) de 3 cifre atras de 7.
Soluție
Dacă \(n\) este atras de 7 atunci
1) \(n\) este divizibil cu 7 și are \(7-1=6\) divizori;
2) suma divizorilor lui \(n\) este divizibilă cu 7 dar nu este divizibilă cu 8.
Deoarece \(n\) are 6 divizori, atunci \(n\) poate avea una din formele: \(n=p^5\) sau \(n=p_1\cdot p_2^2\), unde \(p,p_1,p_2\) sunt numere prime.
Deoarece \(n\vdots 7\Rightarrow n\) poate fi \(7^5\), \(7p^2\) sau \(7^2p\) cu \(p\) număr prim.
Dacă
\[\left\{\begin{array}{lll}
n=7^5 &\Rightarrow & \mbox{suma divizorilor lui } n\mbox{ este }\\
&& 1+7+7^2+7^3+7^4+7^5={\mathcal M}7+1\not\vdots 7 \\
n=7\cdot p^2 & \Rightarrow & \mbox{suma divizorilor lui } n\mbox{ este }\\
&& 1+7+p+p^2+7p+7p^2=8(1+p+p^2)\vdots 8\mbox{ fals} \\
n=7^2\cdot p& \Rightarrow & \mbox{suma divizorilor lui } n\mbox{ este } \\
&& 1+7+p+7p+7^2+7^2p=57(1+p)
\end{array}\right.\]
Din condiția 2) rezultă
\[\left.\begin{array}{lll}
1+p\vdots 7 \\
p\mbox{ prim}
\end{array}\right\}
\Rightarrow
\left.\begin{array}{lll}
p=13\\
8\not| 57\cdot 14
\end{array}\right\}
\Rightarrow n=7^2\cdot 13=637\]
