Enunţul problemei este disponibil aici.
a) Fie \(x = m(\angle{MBC})\).
Atunci
\(m(\angle{AMN}) = 2x\) și \(m(\angle{BNP})=3x\).
De asemenea \(m(\angle{NBM}) = 60 – x\), (1),
\(m(\angle{BPM})=150^\circ\),
\(m(\angle{BMP})=30-x\), (2),
\(m(\angle{NMB})=60-x\), (3).
Din (1) și (3) rezultă că \(\Delta NBM\) este isoscel și \(m(\angle{PNM})=60-x\)
b) Vom arăta că \(BP = PM\), de unde \(x = 30^ \circ – x \Rightarrow x = 15^ \circ\). Presupunem \(BP > PM\), de unde \(30 – x > x \Rightarrow x < 15^ \circ \). Aplicând (P3) triunghiurilor \(BNP\) și \(MNP\), obținem \(3x > 60 – x \Rightarrow x > 15^ \circ \). Contradicție. Analog, cazul \(BP < PM\) conduce la contradicție.
Observație
Această problemă nu a fost rezolvată complet de niciunul dintre elevii participanți la concurs.
Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!
