Teorie
Pentru a rezolva o problemă cu “dacă și numai dacă” trebuie să facem două demonstrații: demonstrația a) notată \(“\Rightarrow”\) adică \(p\Rightarrow q\) (teorema directă) și demonstrația b) notată \(“\Leftarrow”\) adică \(q\Rightarrow p\) (teorema reciprocă).
Probleme rezolvate
Problema 1
Știind că \(a,b\in \mathbb{N}\) să se arate că \(11|(2a+7b)\) dacă și numai dacă \(11|(3a+5b)\).
Soluție
Avem \(2a+7b+3(3a+5b)=11(a+2b)\),
i) Dacă \(11|(2a+7b)\) rezultă că \(11|(3a+5b)\).
ii) Dacă \(11|(3a+5b)\) rezultă din \(2a+7b+3(3a+5b)=11(a+2b)\), că \(11|(2a+7b)\).
Problema 2
Se consideră numerele naturale \(x\) și \(y\). Arătați că \(3x+4y\) este divizibil cu \(11\) dacă și numai dacă \(5x+3y\) este divizibil cu \(11\).
Soluție
Avem \(5x+3y+11(2x+3y)=27x+36y=9(3x+4y)\).
i) Dacă \(3x+4y\) se divide cu 11 și \(11(2x+3y)\) se divide cu 11 rezultă (din relația de mai sus) că \(5x+3y\) se divide cu 11.
ii) Dacă \(5x+3y\) se divide cu 11 și \(11(2x+3y)\) se divide cu 11 rezultă că \(3x+4y\) se divide cu 11.
Problema 3
Fie \(ABC\) un triunghi isoscel cu \((BC)\equiv (AC)\). Ducem \(AD\perp BC\), \(D\in (BC)\). Arătați că \(m(\angle{C})=30^\circ\) dacă și numai dacă \(AD=\displaystyle\frac{BC}{2}\).
Soluție
(Fig. 15-1)
i) Dacă \(m(\angle{C})=30^\circ\) să arătăm că \(AD=\displaystyle\frac{BC}{2}\). În \(\triangle ACD\) dreptunghic, cateta \((AD)\) se opune unghiului cu măsura \(30^\circ\), deci
\[AD=\displaystyle\frac{AC}{2}=\displaystyle\frac{BC}{2}.\]
ii) Dacă \(AD=\displaystyle\frac{BC}{2}\) să arătăm că \(m(\angle{C})=30^\circ\). Fiindcă \((BC)\equiv (AC)\) avem
\[AD=\displaystyle\frac{BC}{2}=\displaystyle\frac{AC}{2}.\]
În triunghiul dreptunghic \(ADC\) avem \(AD=\displaystyle\frac{AC}{2}\) deci \(m(\angle{ACD})=30^\circ\).
Fig. 15.1
Problema 4
Se prelungește mediana \((AM)\) a triunghiului \(ABC\) cu \((MN)\equiv (AM)\). Prin \(N\) se construiește paralela la \(BC\) care intersectează dreptele \(AB\) și \(AC\) în \(E\) respectiv \(F\). Să se arate că triunghiul \(EMF\) este dreptunghic \((m(\angle{EMF})=90^\circ)\) dacă și numai dacă \((AN)\equiv (EF)\).
Soluție
(Fig. 15-2)
Din \(EN\|BM\) și \(M\) mijlocul lui \(AN\) rezultă că \(B\) este mijlocul lui \(AE\). Obținem că \((BM)\) este linie mijlocie în \(\triangle AEN\), deci \(BM=\displaystyle\frac{EN}{2}\). Analog și \((MC)\) este linie mijlocie în \(\triangle ANF\) deci \(MC=\displaystyle\frac{NF}{2}\). Fiindcă \((MB)\equiv (MC)\) obținem că \((EN)\equiv (NF)\), adică \(AN\) este mediană în \(\triangle MEF\).
i) Dacă \(AN=EF\Rightarrow \displaystyle\frac{AN}{2}=\displaystyle\frac{EF}{2}\) adică \(MN=\displaystyle\frac{EF}{2}\) de unde rezultă că \(m(\angle{EMF})=90^\circ\).
ii) Dacă \(m(\angle{EMF})=90^\circ\) rezultă \(MN=\displaystyle\frac{EF}{2}\Leftrightarrow (AN)\equiv (EF)\).
Fig. 15.2
Problema 5
Fie triunghiul echilateral \(ABE\) și triunghiul isoscel \(ACE\) cu \([AE]\equiv [CE]\), astfel încât punctele \(B\) și \(C\) să fie de o parte și de alta a dreptei \(AE\). Notăm cu \(D\) intersecția dintre segmentul \([AE]\) și \([BC]\). Să se arate că \([CD]\equiv [AB]\) dacă și numai dacă \(m(\angle{CAE})=50^\circ\).
(Marius Mohonea)
Soluție
(Fig. 15-3)
i) Dacă \(m(\angle{CAE})=50^\circ\Rightarrow m(\angle{ECA})=50^\circ\)
și atunci \(m(\angle{AEC})=80^\circ\), iar
\[m(\angle{CEB})=m(\angle{CEA})+m(\angle{AEB})=80^\circ+60^\circ=140^\circ.\]
Fiindcă \((BE)\equiv (AE)\equiv (CE)\), avem că \(\triangle BEC\) este isoscel cu \(m(\angle{EBC})=m(\angle{ECB})=20^\circ\). Atunci \(m(\angle{CDE})=m(\angle{DEB})+m(\angle{DBE})\) (fiind exterior triunghiului \(DBE\)). Deci
\[m(\angle{CDE})=20^\circ+60^\circ=80^\circ.\]
Atunci obținem că \(m(\angle{CDE})=m(\angle{CED})\ (80^\circ)\) deci triunghiul \(CDE\) este isoscel, și de aici \((CD)\equiv (CE)\). Dar \((CE)\equiv (AE)\equiv (AB)\). Deducem astfel că \((CD)\equiv (AB)\).
ii) Dacă \([CD]\equiv [AB]\) să arătăm că \(m(\angle{CAE})=50^\circ\).
Din \((CD)\equiv (AB)\Rightarrow (CD)\equiv (BE)\equiv (EC)\). În triunghiul isoscel \(CDE\) avem \[2m(\angle{CED})+m(\angle{DCE})=180^\circ.\] În triunghiul \(BCE\) avem
\[2m(\angle{DCE})+60^\circ+m(\angle{CED})=180^\circ.\]
Adunând membru cu membru ultimele două relații obținem:
\[3m(\angle{CED})+3m(\angle{DCE})=300^\circ
\mbox{ sau }\\
m(\angle{CED})+m(\angle{DCE})=100^\circ.\]
Atunci \(m(\angle{CDE})=80^\circ\).
Din \(m(\angle{CDE})=m(\angle{DEC})=80^\circ\), rezultă în triunghiul isoscel \(ACE\) că \(m(\angle{EAC})=m(\angle{ECA})=50^\circ\).
Fig. 15.3
Probleme propuse
Problema 1, Problema 2, Problema 3, Problema 4, Problema 5, Problema 6, Problema 7, Problema 8, Problema 9, Problema 10, Problema 11.
