Teorie
Introducere
Problemele de loc geometric au fost întotdeauna o adevărată provocare datorită frumuseții și complexității lor. Îndemnându-ne să căutăm, să intuim, să pășim nesiguri, cu un sentiment de îndoială, ne oferă în schimb satisfacția reușitei, amplificată de drumul oscilant, de risipa de încercări și întrebări.
Teama de anticipare, neputința de a palpa fac de multe ori ca problemele de loc geometric să pară inaccesibile, fiind considerate cele mai grele probleme de geometrie.
Primele referiri asupra noțiunii de loc “geometric” aparțin lui Platon (427-347 î.Hr.) și Aristotel (383-322 î.Hr.), unii dintre cei mai mari gânditori ai Antichității.
Definiții
Prin loc geometric se înțelege figura formată din mulțimea \(L\) a tuturor punctelor din plan sau din spațiu care au aceeași proprietate \(P\).
O problemă de loc geometric se distinge printr-un enunț ce prezintă proprietatea \(P\) și prin determinarea mulțimii tuturor punctelor ce o satisfac.
Rezolvarea unei probleme de loc geometric presupune determinarea mulțimii de puncte \(L\) care satisfac proprietatea geometrică \(P\).
După modul în care este structurată problema, se întâlnesc două situații:
1. probleme în care locul geometric este precizat;
2. probleme în care enunțul cere și stabilirea locului.
Indiferent de situație, problema fixează o mulțime \(F\) de elemente fixe (puncte, drepte, cercuri, segmente, arce, unghiuri, etc.) și o mulțime \(K\) de constante (direcții, numere reale, etc.) cu ajutorul cărora se formează o proprietate referitoare la punctele planului sau ale spațiului.
Rezolvarea unei probleme de loc geometric este compusă din două părți:
\(\bullet\) în prima parte trebuie să se intuiască locul geometric, dacă nu este precizat;
\(\bullet\) în partea a doua se arată că mulțimea intuită satisface condițiile problemei.
Ca să avem certitudinea că figura propusă este locul geometric căutat, este necesar ca ambele propoziții să fie demonstrate. Dacă s-ar demonstra numai prima propoziție se ajunge la concluzia că toate punctele figurii presupuse fac parte din mulțimea punctelor care aparțin locului geometric căutat, dar nu putem să ne dăm seama dacă nu cumva sunt puncte în afara figurii care să aparțină locului. Dacă s-ar demonstra numai a doua propoziție, atunci se ajunge la concluzia că toate punctele locului căutat aparțin figurii, dar nu s-ar ști precis dacă pe figura presupusă nu se găsesc și puncte care să nu aibă proprietatea enunțată.
Exemple de probleme de loc geometric tratate vectorial
Problema 1
În patrulaterul \(ABCD\) vârfurile \(A, B, C\) sunt fixe, iar vârful \(D\) descrie o dreaptă \(d\). Să se afle locul geometric al mijlocului segmentului \(MN\), unde \(M\) este mijlocul segmentului \([AB]\), iar \(N\) este mijlocul segmentului \([CD]\).
Rezolvare
Notăm cu \(P\) mijlocul segmentului \(MN\). Din punctul \(A\) ducem perpendiculara pe dreapta \(d\) și notăm cu \(Q\) piciorul acestei perpendiculare.
Vectorul \(\overline{AD}\) se exprimă prin relația: \(\overline{AD}=\overline{AQ}+\lambda \overline{u}\), unde \(\overline{u}\) este versorul dreptei \(d\), iar \(\lambda \) o mărime variabilă.
În triunghiul \(ACD\) segmentul \(AN\) este mediană și prin urmare
\[\overline{AN}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overline{AD}+\overline{AC}),\]
sau încă
\[\overline{AN}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overline{AQ}+\overline{AC})+\displaystyle\frac{\lambda \overline{u}}{2}
\quad(1)\]
Vectorii \(\overline{AM}\) și \(\overline{AB}\) sunt coliniari, prin urmare
\[\overline{AM}=\displaystyle\frac{\overline{AB}}{2}
\quad(2)\]
În triunghiul \(AMN\) vectorul \(\overline{AP}\) se exprimă prin formula:
\[\overline{AP}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overline{AM}+\overline{AN}).\]
Substituind valorile vectorilor \(\overline{AM}\) și \(\overline{AN}\) din (1) și (2) în ultima relație obținem:
\[\overline{AP}=\displaystyle\frac{\overline{AQ}+\overline{AC}+\overline{AB}}{4}+\displaystyle\frac{\overline{u}}{4}
\quad(3)\]
Cum \(A , B, C\) și dreapta \(d\) sunt elemente fixe, rezultă că
\[\displaystyle\frac{\overline{AQ}+\overline{AC}+\overline{AB}}{4}=\overline{a}=\mbox{constant}.\]
Relația (3) devine:
\[\overline{AP}=\overline{a}+\displaystyle\frac{\lambda \overline{u}}{4},\]
deci locul geometric căutat este o dreaptă paralelă cu dreapta \(d\).
Problema 2
Fie \(A , B, C\) trei puncte fixate. Să se determine locul geometric al punctelor din plan pentru care
\[MA^2+MB^2+MC^2=k.\]
Rezolvare
Fie \(G\) centrul de greutate al triunghiului \(ABC\). Atunci
\[MA^2=\overline{MA}\cdot \overline{MA}=(\overline{MG}+\overline{GA})^2
=\\=MG^2+GA^2+2\cdot \overline{MG}\cdot \overline{GA}.\]
Analog arătăm că
\[MB^2=MG^2+GB^2+2\cdot \overline{MG}\cdot \overline{GB}\]
și
\[MC^2=MG^2+GC^2+2\cdot \overline{MG}\cdot \overline{GC}.\]
Atunci relația din enunț devine:
\[MA^2+MB^2+MC^2=3\cdot MG^2+(GA^2+GB^2+GC^2)
+\\+2\cdot \overline{MG}\cdot (\overline{GA}+\overline{GB}+\overline{CG}).\]
Pe de altă parte \(\overline{GA}+\overline{GB}+\overline{CG}=0\)
și atunci
\[MA^2+MB^2+MC^2=3\cdot MG^2+(GA^2+GB^2+GC^2)
\quad(1)\]
ținând cont de următorul rezultat:
Dacă \(G\) este centrul de greutate al triunghiului \(ABC\), atunci are loc:
\[GA^2+GB^2+GC^2=\displaystyle\frac{AB^2+AC^2+BC^2}{3},\]
relația (1) devine
\[3\cdot MG^2=k-\displaystyle\frac{AB^2+AC^2+BC^2}{3}\]
sau încă
\[MG^2=\displaystyle\frac{3k-(a^2+b^2+c^2)}{9}.\]
Discuție:
1) Dacă \(3k<a^2+b^2+c^2\), atunci locul geometric este mulțimea vidă.
2) Dacă \(3k=a^2+b^2+c^2\), atunci locul geometric este format din punctul \(G\).
3) Dacă \(3k>a^2+b^2+c^2\), atunci locul geometric este cercul de centru \(G\) și rază \(\displaystyle\frac{\sqrt {3k-(a^2+b^2+c^2)}}{3}\).
Problema 3
Să se găsească locul geometric al centrelor dreptunghiurilor înscrise într-un triunghi ascuțitunghic.
Rezolvare
Cazul I: \(P,Q\in [BC]\), \(M\in [AB]\), \(N\in [AC]\).
Fie \(\displaystyle\frac{MN}{BC}=\displaystyle\frac{AM}{AB}=\lambda \), unde \(\lambda \in (0,1)\).
Dacă \(\displaystyle\frac{AM}{AB}=\lambda \), atunci \(\displaystyle\frac{MB}{AB}=1-\lambda \) și \(\overline{MB}=(1-\lambda )\cdot \overline{AB}\).
Dacă \(\{O\}=MP\cap QN\), atunci \(O\) este mijlocul segmentului \(MP\) și
\[\overline{BO}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overline{BM}+\overline{BP}).\]
Dar
\[\overline{BP}=\overline{BQ}+\overline{QP}=\overline{BQ}+\overline{MN}=\overline{BQ}+\lambda \cdot \overline{BC}
\quad(1)\]
Din asemănarea triunghiurilor \(MQB\) și \(ADB\) avem că
\[\displaystyle\frac{BQ}{BD}=\displaystyle\frac{BM}{AB}=\displaystyle\frac{MQ}{AD}=1-\lambda ,\]
de unde
\[\overline{BQ}=(1-\lambda )\overline{BD}.\]
Înlocuind \(\overline{BQ}\) astfel obținut în (1) avem:
\[\overline{BP}=(1-\lambda )\cdot \overline{BD}+\lambda \cdot \overline{BC}.\]
Revenind la expresia lui \(\overline{BO}\) obținem
\begin{align*}
\overline{BO}
& =\displaystyle\frac{1}{2}(\overline{BM}+\overline{BP})
=\displaystyle\frac{1}{2}[(1-\lambda )\overline{BA}+(1-\lambda )\overline{BD}+\lambda \cdot \overline{BC}]\\
& =\displaystyle\frac{\lambda }{2}\cdot \overline{BC}+\displaystyle\frac{1-\lambda }{2}\cdot (\overline{BA}+\overline{BD})
=\lambda \cdot \overline{BR}+(1-\lambda )\cdot \overline{BS},
\end{align*}
unde \(R\) este mijlocul laturii \(BC\) iar \(S\) este mijlocul înălțimii \(AD\).
Din relația \(\overline{BO}=\lambda \cdot \overline{BR}+(1-\lambda )\overline{BS}\) deducem că punctul \(O\) descrie segmentul \(RS\), unde \(R\) este mijlocul laturii \(BC\) iar \(S\) este mijlocul înălțimii corespunzătoare ei.
Analog tratăm și celelalte două cazuri când \(P,Q\in [AC]\) sau \(P,Q\in [AB]\).
În final concluzionăm: locul geometric căutat este reuniunea a trei segmente care au un capăt în mijlocul unei laturi a triunghiului iar celălalt capăt va fi mijlocul înălțimii corespunzătoare ei.
Problema 4
Fie triunghiul \(ABC\) și \(C(O,R)\) cercul său circumscris. Fie punctul \(T\) în interiorul acestui cerc și fie \(M, N, P\) punctele de intersecție ale cercului cu semidreptele \([AT\), \([BT\) și respectiv \([CT\).
Dacă \(\alpha ,\beta ,\gamma >0\), să se determine locul geometric al punctelor \(T\) pentru care
\[\alpha \cdot \displaystyle\frac{TA}{TM}+\beta \cdot \displaystyle\frac{TB}{TN}+\gamma \cdot \displaystyle\frac{TC}{TP}=\alpha +\beta +\gamma .\]
Rezolvare
Există punctul \(G\) în planul \((ABC)\) astfel încât să avem
\[(\alpha +\beta +\gamma )\overline{DG}=\alpha \cdot \overline{DA}+\beta \cdot \overline{DB}+\gamma \cdot \overline{DC},\
\forall \ D\in (ABC).\]
Acest punct \(G\) este baricentrul punctelor \((A,\alpha )\), \((B,\beta )\), \((C,\gamma )\) și este unic.
Folosind puterea punctului \(T\) față de cercul \(C(O,R)\) avem:
\[TA\cdot TM=TB\cdot TN=TC\cdot TP=\\=R^2-OT^2=R^2-d^2,
\mbox{ unde } OT=d.\]
Relația din ipoteză se mai scrie succesiv sub forma:
\begin{align*}
& \alpha \cdot \displaystyle\frac{TA^2}{TA\cdot TM}+\beta \cdot \displaystyle\frac{TB^2}{TB\cdot TN}
+\gamma \cdot \displaystyle\frac{TC^2}{TC\cdot TP}=\alpha +\beta +\gamma \Leftrightarrow\\
& \alpha \cdot TA^2+\beta \cdot TB^2+\gamma \cdot TC^2
=(\alpha +\beta +\gamma )(R^2-d^2)\Leftrightarrow\\
& \alpha \cdot (TA^2-R^2+d^2)+\beta \cdot (TB^2-R^2+d^2)+\gamma \cdot (TC^2-R^2+d^2)=0.
\end{align*}
Dar
\[TA^2-R^2+d^2=2\cdot \overline{TA}\cdot \overline{TO},\]
\[TB^2-R^2+d^2=2\cdot \overline{TB}\cdot \overline{TO},\]
\[TC^2-R^2+d^2=2\cdot \overline{TC}\cdot \overline{TO}.\]
Atunci rezultă că
\(\overline{TO}\cdot (\alpha \cdot \overline{TA}+\beta \cdot \overline{TB}+\gamma \cdot \overline{TC})=0\),
ceea ce este echivalent cu
\[\overline{TO}\cdot \overline{TG}=0.\]
Prin urmare punctul \(T\) se află pe cercul de diametru \([OG]\).
