Teorie
Puncte coliniare
Trei sau mai multe puncte distince sunt coliniare dacă există o dreaptă care le conține.
Pentru a demonstra că trei puncte distincte sunt coliniare, sunt disponibile diverse strategii care sunt construite pe relațiile generate de coliniaritatea a trei puncte.
1) Punctele distincte \(A, B\) și \(C\) sunt coliniare dacă ele determină un unghi alungit (reprezentarea a), adică \(m(\angle ABC)=180^\circ\).
2) Punctele distincte \(A, B\) și \(C\) sunt coliniare dacă ele determină un unghi nul (reprezentarea b), adică \(m(\angle BAC)=0^\circ\).
În situația din reprezentarea a) obținem coliniaritatea punctelor \(A, B\) și \(C\) dacă (de exemplu) are loc relația:
\[m(\angle ABP_2)+m(\angle P_2BC)=180^\circ\]
sau
\[m(\angle ABP_1)+m(\angle P_1BP_2)+m(\angle P_2BP_3)+m(\angle P_3BC)=180^\circ.\]
De asemenea putem obține coliniaritatea punctelor \(A, B\) și \(C\) dacă (vezi b) are loc relația:
\[m(\angle MAB)-m(\angle MAC)=0^\circ\]
sau
\[m(\angle PAB)-m(\angle PAC)=0^\circ.\]
3) Dacă două unghiuri au doar vârf comun, sunt congruente și cu două dintre laturi în prelungire (acestea completând dreapta \(d\)), iar interioarele lor sunt de o parte și de alta a dreptei \(d\), atunci și celelalte două laturi sunt una în prelungirea celeilalte (reprezentarea c).
\(B\in PQ\), iar \(A\) și \(C\) sunt în semiplane diferite (semiplane determinate de dreapta \(PQ\)) astfel încât \(m(\angle PBA)=m(\angle QCA)\) (Teorema reciprocă teoremei unghiurilor opuse la vârf).
4) Printr-un punct exterior unei drepte se poate construi o singură dreaptă paralelă cu dreapta dată (reprezentarea d).
Dacă \(A\not\in d\) iar \(AB\|d\) și \(AC\|d\) \(\Rightarrow AB=AC\), adică \(A,B,C\) sunt coliniare.
5) Printr-un punct oarecare din plan se poate construi o singură perpendiculară pe o dreaptă dată (acel punct poate să fie exterior dreptei sau se poate afla pe dreaptă)
\(A,C\not\in d\), \(B\in d\) astfel încât \(AB\perp d\) și \(AC\perp d\)
(reprezentarea e) \(\Rightarrow AB=AC\), adică \(A, B, C\) coliniare.
6) Punctele \(A, B\) și \(C\) sunt coliniare dacă și numai dacă are loc oricare dintre relațiile: \(AB=AC+CB\) (reprezentarea f) sau \(AC=AB+BC\) sau \(BC=BA+AC\).
7) În timp se vor utiliza și alte modalități de a demonstra coliniaritatea, de exemplu cea oferită de teorema lui Menelaus (mai exact, reciproca acesteia).
Este bine să reținem câteva coliniarități remarcabile.
Într-un triunghi \(ABC\), avem:
- Centrul cercului circumscris \(O\), centrul de greutate \(G\) și ortocentrul triunghiului \(H\) sunt coliniare (se află pe dreapta lui Euler).
- Punctul lui Nagel \(N\), centrul de greutate \(G\) și centrul cercului înscris \(I\) sunt coliniare (se află pe dreapta lui Nagel).
Probleme rezolvate
Problema 1
Se consideră punctele \(A, O, B\) coliniare, în această ordine. Semidreptele \([OC\) și \([OD\) sunt de aceeași parte a dreptei \(AB\), astfel încât \((OC\subset Int(\angle AOD)\). Semidreptele \([OE\) și \([OF\) sunt de cealaltă parte a dreptei \(AB\), astfel încât \(E\in Int\angle EOF\), \(\angle BOE\equiv \angle COD\) și \(\angle EOP\equiv \angle AOC\).
a) Demonstrați că punctele \(D, O\) și \(F\) sunt coliniare.
b) Demonstrați că punctele \(C, O\) și \(E\) sunt coliniare dacă și numai dacă \((OC\) este bisectoarea lui \(\angle AOD\).
Soluție
Dacă \(A,O\) și \(B\) sunt coliniare, atunci \(m(\angle AOB)=180^\circ\).
a) Dar \(m(\angle AOI)+(COD)^n=m(\angle EOI)+(EOB)^n\) și având în vedere congruențele date obținem că \(m(\angle DOB)=m(\angle FOA)\), care sunt astfel unghiuri opuse la vârf, ceea ce implică faptul că \([CD\) și \([OF\) sunt semidrepte opuse. Deci punctele \(D\), \(O\) și \(F\) sunt coliniare.
b) Dacă \([OC\) este bisectoarea unghiului \(\angle AOD\), avem \(m(\angle AOC)=m(\angle COD)\) și cum \(m(\angle BOE)=m(\angle COD)\) deducem că \(m(\angle BOE)=m(\angle AOC)\) și de aici obținem coliniaritatea punctelor \(C, O\) și \(E\).
Iar dacă \(C, O\) și \(E\) sunt coliniare atunci \(\angle EOF\equiv \angle AOC\) (conform tranzitivității relației de congruență) obținem \(\angle COD\equiv \angle AOC\), deci \([OC\) este bisectoarea unghiului \(\angle AOD\).
Problema 2
Se consideră punctele \(A, B, C\) astfel încât \(B\in (AC)\). Luăm punctele \(D\) și \(E\) de o parte și de alta a dreptei \(AC\), iar semidreptele \([BM\) și \([BN\) să fie bisectoarele unghiurilor \(\angle DBC\) și respectiv \(\angle ABE\). Arătați că dacă punctele \(M, B\) și \(N\) sunt coliniare, atunci și punctele \(D, B\) și \(E\) sunt coliniare.
Soluție
Punctele \(A, B\) și \(C\) sunt coliniare.
\([BM\) bisectoarea lui \(\angle DBC\Rightarrow \angle DBM\equiv \angle MBC\).
\([BN\) bisectoarea lui \(\angle ABE\Rightarrow \angle ABN\equiv \angle NBE\).
Dacă \(M, B\) și \(N\) sunt coliniare, atunci \(\angle MBC\equiv \angle ABN\) \(\Leftrightarrow \angle DBC\equiv \angle ABE\) de unde avem coliniaritatea punctelor \(D, B\) și \(E\).
Problema 3
Unghiurile \(\angle AOB\), \(\angle BOC\), \(\angle COD\) și \(\angle DOA\) sunt unghiuri formate în jurul punctului \(O\), cu interioarele disjuncte și au măsurile direct proporționale cu patru numere naturale consecutive. Arătați că punctele \(B, O\) și \(D\) sunt coliniare.
Soluție
Fie \(n\in \mathbb{N}\).
Avem
\[\displaystyle\frac{m(\angle AOB)}{n}=\displaystyle\frac{m(\angle BOC)}{n+1}=\displaystyle\frac{m(\angle COD)}{n+2}
=\\=\displaystyle\frac{m(\angle DOA)}{n+8}=\displaystyle\frac{360^\circ}{4n+6}=\displaystyle\frac{180^\circ}{2n+8}\]
Avem de asemenea
\[\displaystyle\frac{m(\angle BOC)}{n+1}=\displaystyle\frac{m(\angle COD)}{n+2}=\displaystyle\frac{m(\angle BOC)+m(\angle COD)}{2n+8}.\]
Prin urmare
\[\displaystyle\frac{m(\angle BOC)+m(\angle COD)}{2n+8}=\displaystyle\frac{180^\circ}{2n+8}\]
de unde
\[m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^\circ,\]
adică
\(\angle EOD\) este unghi alungit, ceea ce înseamnă coliniaritatea punctelor \(B, O\) și \(D\).
Problema 4
Fie \(ABC\) un triunghi ascuțitunghic \((AB<AC<BC)\). Prin \(B\) se duce o paralelă la \(AC\), iar prin \(C\) se duce o paralelă la \(AB\), acestea intersectându-se în \(M\). Arătați că dacă \(D\) este un punct pe latura \([BC]\) astfel încât \(m(\angle DAB)=m(\angle DMC)\), atunci punctele \(A, D\) și \(M\) sunt coliniare.
Situația enunțată se descrie astfel:
\(\triangle ABC:\ AB<AC<BC\)
\(BM\|AC,\ CM\|AB\)
\(D\in (BC):\ m(\angle DAB)=m(\angle DMC)\)
Se cere: să se demonstreze că \(D\in AM\).
Soluție
\(BM\|AC\) cu \(BC\) secantă conduce la
\[\angle MBD\equiv \angle ACD
\quad(1)\]
\(CM\|AB\) cu \(BC\) secantă conduce la
\[\angle MCD\equiv \angle ABD
\quad(2)\]
Deci
\[m(\angle ABM)\!=m(\angle ABD)+m(\angle DBM)=\\=m(\angle DCM)+m(\angle ACD)=m(\angle ACM)\]
Se obține astfel congruența triunghiurilor \(ABM\) și \(ACM\) (L.U.U.), de unde deducem că
\([AB]\equiv [MC]\)
și astfel avem
\[\left.\begin{array}{lll}
[AB]\equiv [MC]\\
\angle ABD\equiv \angle MCD\\
\angle DAB\equiv \angle DMC
\end{array}\right\}
\overset{U.L.U.}{\Rightarrow} \triangle ABD\equiv \triangle MCD\Rightarrow \angle ADB\equiv \angle MDC\]
și cum \(D\in BC\), avem și \(D\in AM\) (deoarece \(\angle ADB\) și \(\angle MDC\) sunt unghiuri opuse la vârf).
Problema 5
Se consideră punctele \(A, B, C\) astfel încât \(B\in (AC)\). Luăm punctele \(D\) și \(E\) de o parte și de alta a dreptei \(AC\), iar semidreptele \([BM\) și \([BN\) să fie bisectoarele unghiurilor \(\angle DBC\) și respectiv \(\angle ABE\). Arătați că dacă punctele \(M, B\) și \(N\) sunt coliniare, atunci și punctele \(D, B\) și \(E\) sunt coliniare.
Soluție
Punctele \(A, B\) și \(C\) sunt coliniare.
\([BM\) bisectoarea lui \(\angle DBC\Rightarrow \angle DBM\equiv \angle MBC\).
\([BN\) bisectoarea lui \(\angle ABE\Rightarrow \angle ABN\equiv \angle NBE\).
Dacă \(M, B\) și \(N\) sunt coliniare, atunci \(\angle MBC\equiv \angle ABN\) \(\Rightarrow\angle DBC\equiv ABE\) de unde avem coliniaritatea punctelor \(D, B\) și \(E\).
Problema 6
Fie \([AD\) bisectoarea unghiului \(\angle BAC\) din triunghiul \(ABC\), \(D\in [BC]\). Perpendicularele duse din punctele \(B\) și \(C\) pe \(AD\) intersectează dreptele \(AC\) și \(AB\) în \(E\), respectiv \(F\). Să se demonstreze:
a) \(AD\) este mediatoarea segmentelor \([BE]\) și \([CF]\);
b) punctele \(D, E, F\) sunt coliniare.
Soluție
\(AD\perp BE\) și \([AD\) bisectoarea unghiului \(\angle ABC\) ne conduce la \(\triangle ABE\) isoscel. Dar \(CF \|BE\) deoarece sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă. Deci și \(\triangle AFC\) este isoscel.
(1) Astfel \(BECF\) este un trapez isoscel și diagonalele unui trapez isoscel se intersectează pe bisectoarea unghiului format de laturile neparalele. Deci \(EF\) este cealaltă diagonală și trece prin punctul \(D\) sau
(2) \(\triangle ABE\) și \(\triangle AFC\) fiind isoscele, \([AB]\equiv [AE]\), \([AC]\equiv [AF]\) și \(\angle BAC\equiv \angle BAF\) ceea ce conduce la \(\triangle ABC\equiv \triangle AEF\) de unde, mai departe \(\angle ACB\equiv \angle AFE\). În continuare, mai obținem
\[\left.\begin{array}{lll}
\angle ADF\equiv \angle ADC\\
\angle ADB\equiv \angle ADE
\end{array}\right\}
\Rightarrow \angle BDF\equiv \angle EDC,\]
cu \(B, D, C\) coliniare. Deci și punctele \(E, D, F\) sunt coliniare.
