Enunţul problemei este disponibil aici.
Avem relația:
\[a\cdot b=(a,b)\cdot [a,b]\Rightarrow [a,b]=\displaystyle\frac{a\cdot b}{(a,b)}.\]
Din \(d=(a,b)\Rightarrow a=d\cdot l\) și \(b=d\cdot k\), \((k,l)=1\), \(k,l\in \mathbb{N}^*\). Atunci relația de demonstrat se mai scrie:
\[4\cdot \displaystyle\frac{a\cdot b}{(a,b)}+3\cdot (a,b)\ge 4a+3b\Leftrightarrow
\displaystyle\frac{4\cdot dl\cdot dk}{d}+3d\ge 4dl+3dk\Leftrightarrow\]
\[4\cdot dl\cdot k+3d\ge 4dl+3dk\Leftrightarrow
4dlk-4dl+3d-3dk\ge 0\Leftrightarrow\]
\[4dl(k-1)-3d(k-1)\ge 0\Rightarrow (k-1)(4dl-3d)\ge 0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow
(k-1)\cdot d(4l-3)\ge 0\]
adevărată deoarece \(k,l\in \mathbb{N}^*\).
Aveţi nevoie de ajutor? Suntem aici ca să vă fim de folos!
