Teorie
În matematica școlară și nu numai, se întâlnesc un număr mare de probleme în care intervine noțiunea de paritate. Acest principiu constă în separarea cazurilor pare și impare dintr-o situație. Principiul parității este dat în tabelul de mai jos:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
a & b & a+b \\ \hline
par & par & par\\ \hline
impar & impar & par\\ \hline
par & impar & impar\\ \hline
impar & par & impar\\ \hline
\end{array}
\]
Probleme rezolvate
Problema 1
Fie \(n\in \mathbb{N}\), \(n\ge 2\). Demonstrați că:
a) \(2^n\) se poate scrie ca sumă de două numere impare consecutive;
b) \(3^n\) se poate scrie ca sumă de trei numere impare consecutive;
c) \(4^n\) se poate scrie ca sumă de patru numere impare consecutive;
d) \(5^n\) se poate scrie ca sumă de cinci numere impare consecutive.
Soluție
a) \[2^n=2\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}+2^{n-1}=(2^{n-1}-1)+2^{n-1}+1\], numerele \(2^{n-1}-1\) și \(2^{n-1}+1\) sunt impare.
b) \[3^n=3\cdot 3^{n-1}=3^{n-1}+3^{n-1}+3^{n-1}=\\=(3^{n-1}-2)+3^{n-1}+3^{n-1}+2\]
c) \[4^n=4\cdot 4^{n-1}=4^{n-1}+4^{n-1}+4^{n-1}+4^{n-1}=\\=(4^{n-1}-3)+(4^{n-1}-1) +(4^{n-1}+1)+(4^{n-1}+3)\]
d) \[5^n=5\cdot 5^{n-1}=5^{n-1}+5^{n-1}+5^{n-1}+5^{n-1}+5^{n-1}\]
\[=(5^{n-1}-4)+(5^n-2)+5^{n-1}+(5^{n-1}+2)+(5^{n-1}+4).\]
Problema 2
Paginile unei cărți sunt numerotate la rând de la prima la ultima. Cineva a rupt 7 foi din diferite părți ale acestei cărți și a adunat numerele de pe cele 14 pagini rupte. A obținut 274. Este corect rezultatul? Justificați.
(Cornel Moroti)
Soluție
Suma paginilor unei foi este \(n+(n+1)=2n+1\), număr impar. Atunci suma numerelor de pe cele 7 foi este \(7(2n+1)\) – impar, deci nu poate fi egal cu 274 care este număr par.
Problema 3
Suma a cinci numere naturale este 300. Se poate termina produsul lor în 2009? Justificați răspunsul.
(Vasile Șerdean, Cristian Pop)
Soluție
Fiindcă produsul se termină cu 2009 este impar, atunci numerele trebuie să fie impare, deci suma celor cinci numere va fi impară, dar din ipoteză suma este 300 (pară). Am ajuns la o imposibilitate. Deci produsul nu se poate termina în 2009.
Problema 4
Suma a șapte numere naturale este 2001. Trei dintre aceste numere au suma 1000. Arătați că produsul celor 7 numere se divide cu 4.
(Mircea Fianu)
Soluție
Fie \(a,b,c,d,e,f,g\) cele șapte numere. Atunci din \(a+b+c+d+e+f+g=2001\) și \(a+b+c=1000\) obținem că \(d+e+f+g=1001\). Fiindcă \(a+b+c=1000\), rezultă că cel puțin unul dintre numerele \(a,b,c\) este par, deci se divide cu 2. Analog din \(d+e+f+g=1001\) rezultă că cel puțin unul dintre numerele \(d,e,f,g\) este par, deci se divide cu 2. Atunci obținem că produsul celor 7 numere se divide cu 4.
Problema 5
Să se determine numerele naturale \(x,y\) știind că \(y^2+y=2^x+5111\).
(Vasile Șerdean)
Soluție
\[y^2+y=2^x+5111\Leftrightarrow y(y+1)=2^x+5111
\quad(1)\]
Membrul stâng al relației (1) este par, rezultă că și membrul drept trebuie să fie par \(\Rightarrow x=0\). Atunci (2) devine: \(y(y+1)=5112\Leftrightarrow y(y+1)=71\cdot 72,\mbox{ de unde } y=71.\) Soluția \(x=0\), \(y=71\).
Probleme propuse
Problema 1, Problema 2, Problema 3, Problema 4, Problema 5, Problema 6, Problema 7, Problema 8, Problema 9, Problema 10, Problema 11.
